С10. Прямоугольный треугольник Вариант 1 1. В треугольнике АВС угол В равен 90°, BD — высота треугольника, угол АСВ равен 24°. Найдите острые углы треугольника ABD. 2. В треугольнике ОАВ угол О равен 90°, угол В равен 60°, OB + AB = 18 см. Найдите гипотенузу АВ. 3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиа- на, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Вариант 2

Решение варианта 1.

1. В треугольнике ABC угол B равен 90°, угол ACB равен 24°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол BAC равен:

   $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}$$

   В треугольнике ABD угол ADB равен 90°, угол BAD равен 66°. Следовательно, угол ABD равен:

   $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 66^{\circ} = 24^{\circ}$$

   Ответ: Острые углы треугольника ABD равны 66° и 24°.

2. В треугольнике OAB угол O равен 90°, угол B равен 60°. Пусть OB = x, тогда AB = 2x (так как против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы). По условию OB + AB = 18 см, следовательно:

   $$x + 2x = 18$$

   $$3x = 18$$

   $$x = 6$$

   Тогда AB = 2x = 2 * 6 = 12 см.

   Ответ: Гипотенуза AB равна 12 см.

3. Доказательство:

   Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, а M - середина гипотенузы AB. Проведем медиану CM. Так как медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, то CM = AM = BM. Следовательно, медиана CM равна половине гипотенузы AB.

   Что и требовалось доказать.

Ответ: Решения выше.