С-26. Решение дробных рациональных уравнений Вариант 1 1 Решите уравнение: x2 a) = x+4 x2 2x x+4 5-4x б) 2-25 = 2-25 в) 15 = x; 8-x г) 23x = x + 1. 2 При каком значении х значение функции у но 3?

Решение:

1. Решите уравнение:

a) $$\frac{x^2}{x+4} = \frac{2x}{x+4}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+4)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2 = 2x$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 2x = 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(x - 2) = 0$$

Тогда, либо $$x = 0$$, либо $$x - 2 = 0$$, т.е. $$x = 2$$.

Проверим ОДЗ: $$x
eq -4$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 0, x = 2

б) $$\frac{x^2}{x^2-25} = \frac{5-4x}{x^2-25}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x^2-25)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2 = 5 - 4x$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета:

$$x_1 + x_2 = -4$$

$$x_1 \cdot x_2 = -5$$

Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -5$$

Проверим ОДЗ: $$x^2 - 25
eq 0$$, т.е. $$x
eq \pm 5$$. Корень $$x_1 = 1$$ удовлетворяет этому условию, а корень $$x_2 = -5$$ не удовлетворяет.

Ответ: x = 1

в) $$\frac{15}{8-x} = x$$

Умножим обе части уравнения на $$(8-x)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$15 = x(8-x)$$

$$15 = 8x - x^2$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 8x + 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета:

$$x_1 + x_2 = 8$$

$$x_1 \cdot x_2 = 15$$

Корни: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 5$$

Проверим ОДЗ: $$8-x
eq 0$$, т.е. $$x
eq 8$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 3, x = 5

г) $$\frac{2}{2-3x} = x+1$$

Умножим обе части уравнения на $$(2-3x)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2 = (x+1)(2-3x)$$

$$2 = 2x - 3x^2 + 2 - 3x$$

Перенесем все в одну сторону:

$$3x^2 + x = 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(3x + 1) = 0$$

Тогда, либо $$x = 0$$, либо $$3x + 1 = 0$$, т.е. $$x = -\frac{1}{3}$$.

Проверим ОДЗ: $$2-3x
eq 0$$, т.е. $$x
eq \frac{2}{3}$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 0, $$x = -\frac{1}{3}$$

2. При каком значении x значение функции $$y = \frac{x^2-2x-6}{x-4}$$ равно 3?

Приравняем функцию к 3:

$$\frac{x^2-2x-6}{x-4} = 3$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-4)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2 - 2x - 6 = 3(x - 4)$$

$$x^2 - 2x - 6 = 3x - 12$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета:

$$x_1 + x_2 = 5$$

$$x_1 \cdot x_2 = 6$$

Корни: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 3$$

Проверим ОДЗ: $$x - 4
eq 0$$, т.е. $$x
eq 4$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 2, x = 3