11 С-27. Решение задач с помощью квадратных уравнений 1. Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше дру- гого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330. 2. Площадь прямоугольного треугольника 180 см². Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см. 3. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника равна 26 дм.

1. Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$x + 7$$. Из условия задачи известно, что их произведение равно 330. Составим уравнение:

$$x(x + 7) = 330$$

Решим уравнение:

$$x^2 + 7x - 330 = 0$$

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 49 + 1320 = 1369 = 37^2$$

$$x_1 = \frac{-7 + 37}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-7 - 37}{2} = \frac{-44}{2} = -22$$

Так как числа натуральные, то $$x = 15$$, тогда второе число равно $$15 + 7 = 22$$.

Ответ: 15 и 22.

2. Пусть один катет равен $$x$$, тогда второй катет равен $$39 - x$$. Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна 180 см². Запишем формулу площади прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$, где a и b - катеты. Составим уравнение:

$$\frac{1}{2}x(39 - x) = 180$$

Решим уравнение:

$$x(39 - x) = 360$$

$$39x - x^2 = 360$$

$$x^2 - 39x + 360 = 0$$

$$D = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81 = 9^2$$

$$x_1 = \frac{39 + 9}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

$$x_2 = \frac{39 - 9}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Если один катет равен 24, то второй равен $$39 - 24 = 15$$. Если один катет равен 15, то второй равен $$39 - 15 = 24$$.

Ответ: 15 см и 24 см.

3. Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$, тогда вторая сторона равна $$x + 14$$. Диагональ прямоугольника равна 26 дм. По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - стороны прямоугольника, с - диагональ. Составим уравнение:

$$x^2 + (x + 14)^2 = 26^2$$

Решим уравнение:

$$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676$$

$$2x^2 + 28x - 480 = 0$$

$$x^2 + 14x - 240 = 0$$

$$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2$$

$$x_1 = \frac{-14 + 34}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{-14 - 34}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$

Так как длина не может быть отрицательной, то $$x = 10$$, тогда вторая сторона равна $$10 + 14 = 24$$.

Ответ: 10 дм и 24 дм.