С-31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменате- ля. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на \frac{1}{5}. Найдите эту дробь. 2. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, про- шел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки? 3. Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выпол- нения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

1. Пусть x - знаменатель дроби, тогда x - 4 - числитель дроби. По условию, если к числителю дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на \frac{1}{5}, то есть $$\frac{x - 4 + 19}{x + 28} - \frac{x - 4}{x} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{x + 15}{x + 28} - \frac{x - 4}{x} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{(x + 15)x - (x - 4)(x + 28)}{x(x + 28)} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{x^2 + 15x - (x^2 + 28x - 4x - 112)}{x^2 + 28x} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{x^2 + 15x - x^2 - 24x + 112}{x^2 + 28x} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{-9x + 112}{x^2 + 28x} = \frac{1}{5}$$ $$5(-9x + 112) = x^2 + 28x$$ $$-45x + 560 = x^2 + 28x$$ $$x^2 + 73x - 560 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 73^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-560) = 5329 + 2240 = 7569 = 87^2$$ $$x_1 = \frac{-73 + 87}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-73 - 87}{2} = \frac{-160}{2} = -80$$ (не подходит, т.к. знаменатель не может быть отрицательным) Знаменатель равен 7, тогда числитель равен 7 - 4 = 3. Дробь: \frac{3}{7}. Ответ: \frac{3}{7} 2. Пусть x - скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению реки равна 18 + x, а против течения - 18 - x. Время, затраченное на путь по течению, равно \frac{50}{18 + x}, а время, затраченное на путь против течения, равно \frac{8}{18 - x}. По условию, общее время равно 3 часам. $$\frac{50}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = 3$$ $$50(18 - x) + 8(18 + x) = 3(18 + x)(18 - x)$$ $$900 - 50x + 144 + 8x = 3(324 - x^2)$$ $$1044 - 42x = 972 - 3x^2$$ $$3x^2 - 42x + 72 = 0$$ $$x^2 - 14x + 24 = 0$$ $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 = 10^2$$ $$x_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Оба корня подходят, но скорость течения реки не может быть больше собственной скорости теплохода, поэтому x = 2 км/ч. Ответ: 2 км/ч 3. Пусть первый комбайн убирает поле за x дней, тогда второй комбайн убирает поле за x + 6 дней. Производительность первого комбайна равна \frac{1}{x}, а производительность второго комбайна равна \frac{1}{x + 6}. Вместе они убирают поле за 4 дня, поэтому их общая производительность равна \frac{1}{4}. $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{x + 6 + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{2x + 6}{x^2 + 6x} = \frac{1}{4}$$ $$4(2x + 6) = x^2 + 6x$$ $$8x + 24 = x^2 + 6x$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$$ $$x_1 = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ (не подходит, т.к. время не может быть отрицательным) Первый комбайн убирает поле за 6 дней, тогда второй комбайн убирает поле за 6 + 6 = 12 дней. Ответ: 6 и 12 дней