С сортировочной горки, высота которой равна 40 м, а длина 400 м, начинает спускаться вагон. Определите скорость вагона в конце сортировочной горки, если коэффициент сопротивления движению вагона равен 0,05.

Решение:

Используем закон сохранения энергии с учетом работы силы сопротивления.

1. Начальная энергия (на вершине горки):
   Потенциальная энергия: \( E_p = mgh \), где \( m \) - масса вагона, \( g \) - ускорение свободного падения (примем \( g = 9.8 \) м/с²), \( h = 40 \) м.
   \( E_p = m \cdot 9.8 \cdot 40 \)
2. Работа силы сопротивления:
   Сила сопротивления \( F_{тр} = \mu N \), где \( \mu = 0.05 \) - коэффициент сопротивления, \( N \) - сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости \( N = mg \cos{\alpha} \).
   Угол наклона \( \alpha \) можно найти из соотношения: \( \cos{\alpha} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{400}{\sqrt{40^2 + 400^2}} \) - это неверно. Правильно: \( \sin{\alpha} = \frac{h}{L} = \frac{40}{400} = 0.1 \), а \( \cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - 0.1^2} = \sqrt{1 - 0.01} = \sqrt{0.99} \approx 0.995 \).
   \( F_{тр} = \mu mg \cos{\alpha} = 0.05 \cdot m \cdot 9.8 \cdot 0.995 \approx 0.4877 m \) Н.
   Работа силы сопротивления: \( A_{тр} = F_{тр} \cdot L = 0.4877 m \cdot 400 \approx 195.08 m \) Дж.
3. Конечная энергия (у подножия горки):
   Кинетическая энергия: \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \), где \( v \) - искомая скорость.
   Потенциальная энергия равна 0.
4. Закон сохранения энергии:
   Начальная энергия = Конечная энергия + Работа силы сопротивления
   \( E_p = E_k + A_{тр} \)
   \( mgh = \frac{1}{2}mv^2 + F_{тр}L \)
   Разделим на \( m \) (масса сокращается):
   \( gh = \frac{1}{2}v^2 + \mu g L \cos{\alpha} \)
   \( 9.8 \cdot 40 = \frac{1}{2}v^2 + 0.05 \cdot 9.8 \cdot 400 \cdot 0.995 \)
   \( 392 = \frac{1}{2}v^2 + 195.08 \)
   \( \frac{1}{2}v^2 = 392 - 195.08 = 196.92 \)
   \( v^2 = 196.92 \cdot 2 = 393.84 \)
   \( v = \sqrt{393.84} \approx 19.845 \) м/с.

Округляя до ближайшего целого, получаем примерно 20 м/с.

Ответ: 20 м/с