С.3.36. В арифметической прогрессии S₃ =3, S₅=-5. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулы для суммы первых трех и пяти членов арифметической прогрессии:
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Для S₃: \[S_3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 3a_1 + 3d = 3\]
• Для S₅: \[S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 5a_1 + 10d = -5\]
• Шаг 2: Составим систему уравнений и решим её:
• Упростим уравнения:
  • \[a_1 + d = 1\]
  • \[a_1 + 2d = -1\]
• Вычтем первое уравнение из второго: \[(a_1 + 2d) - (a_1 + d) = -1 - 1\] \[d = -2\]
• Подставим значение d в первое уравнение: \[a_1 + (-2) = 1\] \[a_1 = 3\]
• Шаг 3: Найдем сумму первых семи членов прогрессии:
• Используем формулу для S₇: \[S_7 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7\]
• Подставим значения a₁ и d: \[S_7 = \frac{2(3) + 6(-2)}{2} \cdot 7 = \frac{6 - 12}{2} \cdot 7 = -3 \cdot 7 = -21\]

Ответ: -21