С высоты 67,5 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности земли равна половине его кинетической энергии. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите скорость этого тела на высоте h. Ответ укажите в СИ и округлите до целого числа. Ускорение свободного падения равно 10 м/с².

Определим скорость тела на высоте h, где его потенциальная энергия равна половине кинетической энергии.

Дано:

• Высота падения: $$H = 67,5 \text{ м}$$
• Ускорение свободного падения: $$g = 10 \text{ м/с}^2$$
• Начальная скорость: $$V_0 = 0 \text{ м/с}$$
• Потенциальная энергия: $$E_\text{п} = \frac{1}{2} E_\text{к}$$

Найти: скорость тела на высоте h ($$V$$).

Решение:

1. Запишем закон сохранения энергии: $$E_\text{п0} + E_\text{к0} = E_\text{п} + E_\text{к}$$, где $$E_\text{п0} = mgH$$, $$E_\text{к0} = 0$$, $$E_\text{п} = mgh$$, $$E_\text{к} = \frac{mV^2}{2}$$.
2. Получаем: $$mgH = mgh + \frac{mV^2}{2}$$
3. По условию: $$E_\text{п} = \frac{1}{2} E_\text{к}$$, то есть $$mgh = \frac{1}{2} \cdot \frac{mV^2}{2} = \frac{mV^2}{4}$$
4. Выражаем $$h$$ через $$V$$: $$h = \frac{V^2}{4g}$$
5. Подставляем $$h$$ в закон сохранения энергии: $$mgH = mgh + \frac{mV^2}{2}$$
   $$mgH = m \cdot \frac{V^2}{4g} + \frac{mV^2}{2}$$, сокращаем на $$m$$: $$gH = g \cdot \frac{V^2}{4g} + \frac{V^2}{2}$$
   $$gH = \frac{V^2}{4} + \frac{V^2}{2}$$, приводим к общему знаменателю: $$gH = \frac{V^2 + 2V^2}{4}$$
   $$gH = \frac{3V^2}{4}$$
6. Выражаем $$V^2$$: $$V^2 = \frac{4gH}{3}$$
7. Находим $$V$$: $$V = \sqrt{\frac{4gH}{3}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10 \cdot 67,5}{3}} = \sqrt{\frac{2700}{3}} = \sqrt{900} = 30 \text{ м/с}$$

Ответ: 30