С земли вертикально вверх бросили мяч со скоростью 20 м/с. Одновременно с ним с балкона, находящегося на высоте 15 м, вертикально вниз бросили второй мяч со скоростью 10 м/с. Через сколько секунд они встретятся? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение:

Обозначим:

• \( y_1(t) \) — высота первого мяча (брошенного вверх) в момент времени \( t \).
• \( y_2(t) \) — высота второго мяча (брошенного вниз) в момент времени \( t \).
• \( v_{01} = 20 \) м/с — начальная скорость первого мяча.
• \( v_{02} = -10 \) м/с — начальная скорость второго мяча (отрицательная, так как направлена вниз).
• \( h_1 = 0 \) м — начальная высота первого мяча (с земли).
• \( h_2 = 15 \) м — начальная высота второго мяча (с балкона).
• \( g = 10 \) м/с² — ускорение свободного падения.

Формулы движения:

Для первого мяча (вверх): \( y_1(t) = h_1 + v_{01}t - \frac{gt^2}{2} = 0 + 20t - \frac{10t^2}{2} = 20t - 5t^2 \)

Для второго мяча (вниз): \( y_2(t) = h_2 + v_{02}t - \frac{gt^2}{2} = 15 + (-10)t - \frac{10t^2}{2} = 15 - 10t - 5t^2 \)

Мячи встретятся, когда их высоты будут равны: \( y_1(t) = y_2(t) \)

\[ 20t - 5t^2 = 15 - 10t - 5t^2 \]

Упростим уравнение, прибавив \( 5t^2 \) к обеим частям:

\[ 20t = 15 - 10t \]

Перенесем \( -10t \) в левую часть:

\[ 20t + 10t = 15 \]

\[ 30t = 15 \]

Найдем время \( t \):

\[ t = \frac{15}{30} = 0.5 \text{ с} \]

Ответ: 0.5 с.