С1. На рисунке ∠1 = 102°; ∠2 = ∠3. Найдите ∠4.

Дано:

Угол 1 = \( 102^{\circ} \)

Угол 2 = Угол 3

Найти: Угол 4

Решение:

Угол 1 и угол, смежный с ним, в сумме дают \( 180^{\circ} \) (как смежные углы).

Угол 1 + Угол, смежный с ним = \( 180^{\circ} \)

\( 102^{\circ} \) + Угол, смежный с ним = \( 180^{\circ} \)

Угол, смежный с ним = \( 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \)

Этот угол и угол 2 образуют развернутый угол \( 180^{\circ} \) с одной из сторон треугольника. Нет, это не так. Линия, где находятся углы 1 и 2, является секущей.

Угол 1 и угол 2 являются смежными углами. Значит, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( 102^{\circ} + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( \angle 2 = 180^{\circ} - 102^{\circ} \)

\( \angle 2 = 78^{\circ} \)

По условию, \( \angle 2 = \angle 3 \).

Значит, \( \angle 3 = 78^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 2 + \angle 3 + \text{угол треугольника} = 180^{\circ} \)

\( 78^{\circ} + 78^{\circ} + \text{угол треугольника} = 180^{\circ} \)

\( 156^{\circ} + \text{угол треугольника} = 180^{\circ} \)

\( \text{угол треугольника} = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \)

Угол 4 и угол, который мы нашли (угол треугольника), являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны.

\( \angle 4 = \text{угол треугольника} \)

\( \angle 4 = 24^{\circ} \)

Ответ: \( \angle 4 = 24^{\circ} \)