С1. Найдите координаты точки пересечения прямых АВ и СК, если А(-2; 2), В(2 ; -1,5), С(-5; 0), К(2; 3).

Решение:

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно найти уравнения этих прямых, а затем решить систему из этих двух уравнений.

1. Найдем уравнение прямой AB.

Возьмем два уравнения прямой: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$, где $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$.

Координаты точек A(-2; 2) и B(2; -1,5).

Найдем угловой коэффициент $$m_{AB}$$:

• \[m_{AB} = \frac{-1,5 - 2}{2 - (-2)} = \frac{-3,5}{4} = -0,875\]

Теперь подставим координаты точки A(-2; 2) и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

• \[y - 2 = -0,875(x - (-2))\]
• \[y - 2 = -0,875(x + 2)\]
• \[y - 2 = -0,875x - 1,75\]
• \[y = -0,875x - 1,75 + 2\]
• \[y = -0,875x + 0,25\]

2. Найдем уравнение прямой CK.

Координаты точек C(-5; 0) и K(2; 3).

Найдем угловой коэффициент $$m_{CK}$$:

• \[m_{CK} = \frac{3 - 0}{2 - (-5)} = \frac{3}{7}\]

Теперь подставим координаты точки C(-5; 0) и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

• \[y - 0 = \frac{3}{7}(x - (-5))\]
• \[y = \frac{3}{7}(x + 5)\]
• \[y = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7}\]

3. Решим систему уравнений:

• \[ \begin{cases} y = -0,875x + 0,25 \\ y = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \end{cases} \]

Приравняем правые части уравнений:

• \[-0,875x + 0,25 = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7}\]

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

• \[- \frac{7}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7}\]

Перенесем члены с 'x' влево, а числа вправо:

• \[- \frac{7}{8}x - \frac{3}{7}x = \frac{15}{7} - \frac{1}{4}\]

Приведем к общим знаменателям:

• \[- \frac{49}{56}x - \frac{24}{56}x = \frac{60}{28} - \frac{7}{28}\]
• \[- \frac{73}{56}x = \frac{53}{28}\]

Найдем 'x':

• \[x = \frac{53}{28} \times \left(-\frac{56}{73}\right)\]
• \[x = \frac{53}{1} \times \left(-\frac{2}{73}\right)\]
• \[x = -\frac{106}{73}\]

Теперь найдем 'y', подставив значение 'x' в любое из уравнений. Возьмем второе уравнение:

• \[y = \frac{3}{7} \left(-\frac{106}{73}\right) + \frac{15}{7}\]
• \[y = -\frac{318}{511} + \frac{15 \times 73}{7 \times 73}\]
• \[y = -\frac{318}{511} + \frac{1095}{511}\]
• \[y = \frac{1095 - 318}{511}\]
• \[y = \frac{777}{511}\]

Сократим дробь $$777/511$$. Оба числа делятся на 7:

• $$777 / 7 = 111$$
• $$511 / 7 = 73$$

Получаем $$y = \frac{111}{73}$$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты ($$\frac{-106}{73}$$; $$\frac{111}{73}$$).

Ответ: $$\left(-\frac{106}{73}; \frac{111}{73}\right)$$