С1 Найдите корни уравнения -√2sin(5π/2 + x) sin x = cos x.

Решение:

Данное уравнение: \( -\sqrt{2}\sin(\frac{5\pi}{2} + x)\sin x = \cos x \)

1. Преобразуем \( \sin(\frac{5\pi}{2} + x) \): \( \sin(\frac{5\pi}{2} + x) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x \).
2. Подставим преобразованное выражение в исходное уравнение: \( -\sqrt{2}\cos x \sin x = \cos x \).
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( -\sqrt{2}\cos x \sin x - \cos x = 0 \).
4. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x ( -\sqrt{2}\sin x - 1 ) = 0 \).
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: \( \cos x = 0 \). Корни этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
• Случай 2: \( -\sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \). \( \sqrt{2}\sin x = -1 \). \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни этого уравнения: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.