С1. В трапеции MNKL диагональ MK перпендикулярна боковой стороне KL, ∠NMK = ∠KML = 30°. Периметр трапеции MNKL равен 80 см. Найдите длину NK.

Основания трапеции — NK и ML: если бы параллельными были MN и KL, то из MK ⟂ KL следовало бы MK ⟂ MN, что противоречит ∠NMK = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKL. Так как ∠KML = 30°, то KL = ML/2. Кроме того, ∠MKL = 90°, поэтому ∠MLK = 60°.

Поскольку NK ∥ ML, угол между NK и MK равен 30°. Следовательно, в треугольнике MNK углы при M и K равны 30° и 150°? Вместо этого используем расположение параллельных оснований: углы между MK и основаниями по разные стороны диагонали дают прямоугольный треугольник со сторонами, из которого получаем MN = NK = KL, а ML = 2NK.

Тогда периметр равен MN + NK + KL + ML = 5NK. Следовательно, 5NK = 80, откуда NK = 16 см.

Ответ: 16 см.