С2. (22 балла). Расстояние между двумя станциями поезд прошёл со средней скоростью 72 км/час за двадцать минут. Разгон и торможение поезда вместе длились четыре минуты. Остальное время поезд двигался равномерно. Определите (в км/час) скорость равномерного движения поезда.

Решение:

1. Переведём время в часы:

Общее время в пути: \( t_{общ} = 20 \) минут = \( \frac{20}{60} \) часа = \( \frac{1}{3} \) часа.

Время разгона и торможения: \( t_{р+т} = 4 \) минуты = \( \frac{4}{60} \) часа = \( \frac{1}{15} \) часа.

2. Найдем общее расстояние, пройденное поездом:

Средняя скорость: \( v_{ср} = 72 \) км/ч.

Расстояние: \( S = v_{ср} \cdot t_{общ} = 72 \cdot \frac{1}{3} = 24 \) км.

3. Определим время равномерного движения:

\( t_{равн} = t_{общ} - t_{р+т} = \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4}{15} \) часа.

4. Найдем скорость равномерного движения:

За время разгона и торможения поезд не достиг максимальной скорости, а во время торможения он замедлялся. Для расчёта скорости равномерного движения, нам нужно понять, какое расстояние было пройдено во время разгона и торможения. Так как мы не знаем максимальную скорость, мы не можем точно рассчитать расстояние, пройденное во время разгона и торможения. Однако, мы можем предположить, что средняя скорость в эти периоды была ниже, чем скорость равномерного движения. Для решения этой задачи, нам нужно знать максимальную скорость или предположить, что средняя скорость во время разгона и торможения была равна половине от скорости равномерного движения, но это не указано в условии.

Переосмысление условия: Условие задачи подразумевает, что в течение 4 минут поезд двигался с переменной скоростью (разгон и торможение), а остальное время — с постоянной скоростью. Средняя скорость 72 км/ч рассчитана за всё время движения.

Мы знаем общее расстояние (24 км) и общее время (1/3 часа). Мы также знаем, что 4 минуты (1/15 часа) были потрачены на разгон и торможение, а оставшееся время \( \frac{4}{15} \) часа — на равномерное движение.

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Расстояние, пройденное при равномерном движении: \( S_{равн} = v \cdot t_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \).

Расстояние, пройденное при разгоне и торможении: \( S_{р+т} \).

Общее расстояние: \( S = S_{равн} + S_{р+т} = 24 \) км.

Важно: В задачах такого типа, где нет информации о максимальной скорости или характере разгона/торможения, часто подразумевается, что вся разница в скорости происходит только в периоды разгона и торможения. Если предположить, что в период разгона и торможения средняя скорость была ниже, чем скорость равномерного движения, то скорость равномерного движения должна быть выше средней скорости.

Рассмотрим другой подход:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Средняя скорость = \( \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} \).

\( 72 = \frac{S}{1/3} \), откуда \( S = 24 \) км.

Время равномерного движения \( t_{равн} = 20 - 4 = 16 \) минут = \( \frac{16}{60} \) часа = \( \frac{4}{15} \) часа.

Время разгона и торможения \( t_{р+т} = 4 \) минуты = \( \frac{4}{60} \) часа = \( \frac{1}{15} \) часа.

Пусть \( v_1 \) — скорость равномерного движения, а \( v_2 \) — средняя скорость за время разгона и торможения.

\( S = v_1 \cdot t_{равн} + v_2 \cdot t_{р+т} \)

\( 24 = v_1 \cdot \frac{4}{15} + v_2 \cdot \frac{1}{15} \)

Умножим на 15:

\( 360 = 4v_1 + v_2 \)

Из условия задачи, \( v_1 \) — это и есть искомая скорость. Мы не знаем \( v_2 \).

Наиболее вероятная трактовка этой задачи, исходя из школьного уровня:

Предполагается, что во время разгона и торможения, средняя скорость была меньше, чем скорость равномерного движения, но не обязательно равна 0. Однако, если в задаче не даны дополнительные условия, то часто подразумевается, что эти 4 минуты влияют на общую среднюю скорость, и нужно найти скорость, которая при движении в течение \( \frac{4}{15} \) часа дала бы в сумме с некоторой (неизвестной) скоростью за 4 минуты, то же общее расстояние.

Стандартный подход для таких задач:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Общее расстояние = \( v \cdot t_{равн} + v_{средняя\cdotразгон/торможение} \cdot t_{р+т} \)

В данном случае, если бы поезд двигался равномерно с постоянной скоростью \( v \) в течение всего времени \( \frac{1}{3} \) часа, то расстояние было бы \( v \cdot \frac{1}{3} \).

Однако, из-за разгона и торможения, средняя скорость оказалась 72 км/ч. Это означает, что скорость равномерного движения \( v \) должна быть больше 72 км/ч.

Если предположить, что за время разгона и торможения поезд прошел расстояние, соответствующее некоторой средней скорости, которая привела к общему расстоянию 24 км за 20 минут, то

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

\( v \cdot \frac{4}{15} + v_{т\cdotр} \cdot \frac{1}{15} = 24 \)

Если мы примем, что \( v_{т\cdotр} \) — это некоторая скорость (меньше \( v \)), которая, будучи усредненной с \( v \) за все время, дала 72 км/ч.

Сделаем самое простое предположение, которое часто используется в задачах такого типа:

Предположим, что за 4 минуты (1/15 часа) поезд прошел расстояние \( S_{р+т} \), а за 16 минут (4/15 часа) — расстояние \( S_{равн} \).

\( S_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \)

\( S_{р+т} = v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \cdot \frac{1}{15} \)

\( S_{равн} + S_{р+т} = 24 \)

\( v \cdot \frac{4}{15} + v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \cdot \frac{1}{15} = 24 \)

Если задача предполагает, что 'остальное время поезд двигался равномерно' означает, что эта скорость 'v' является той, что при более высокой средней скорости (72 км/ч) покрыла то же расстояние, то:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Общее время \( t_{общ} = \frac{1}{3} \) часа. Средняя скорость \( v_{ср} = 72 \) км/ч. Расстояние \( S = 24 \) км.

Время разгона и торможения \( t_{р+т} = \frac{1}{15} \) часа.

Время равномерного движения \( t_{равн} = \frac{4}{15} \) часа.

Пусть \( v \) — искомая скорость равномерного движения.

Скорость равномерного движения должна быть такой, чтобы при учете времени разгона/торможения, средняя скорость была 72 км/ч.

Классическое решение такой задачи:

Предполагаем, что если бы поезд двигался с постоянной скоростью \( v \) всё время, то проехал бы расстояние \( v \cdot \frac{1}{3} \).

Но поскольку были разгон и торможение, то часть времени движение было медленнее. Чтобы компенсировать это и достичь такой же средней скорости, скорость на участке равномерного движения должна быть выше.

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

\( S_{общ} = v_{равн} \cdot t_{равн} + v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \cdot t_{р+т} \)

\( 24 = v \cdot \frac{4}{15} + v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \cdot \frac{1}{15} \)

\( 360 = 4v + v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \)

Это уравнение имеет две неизвестные. Ошибка в интерпретации.

Правильное решение:

Время движения с постоянной скоростью \( t_{равн} = 20 \text{ мин} - 4 \text{ мин} = 16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч} \).

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения (искомая).

Расстояние, пройденное за время равномерного движения: \( S_{равн} = v \cdot t_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \).

За время разгона и торможения (4 минуты = \( \frac{1}{15} \) часа) поезд прошел расстояние \( S_{р+т} \).

Общее расстояние: \( S = S_{равн} + S_{р+т} = 24 \) км.

Ключевой момент: Средняя скорость 72 км/ч рассчитывается за всё время. Если бы поезд двигался с постоянной скоростью \( v \) всё время, то \( v = 72 \) км/ч. Однако, у нас есть период разгона и торможения, который понижает среднюю скорость.

Предположим, что поезд достиг скорости \( v \) и двигался с ней равномерно, а затем начал тормозить.

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Расстояние, пройденное при равномерном движении: \( S_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \).

Расстояние, пройденное при разгоне и торможении: \( S_{р+т} \).

\( S_{равн} + S_{р+т} = 24 \).

Из условия задачи, средняя скорость 72 км/ч получается за 20 минут.

Если бы поезд двигался с некоторой скоростью \( v_{max} \) и разгон/торможение заняли 4 минуты, а равномерное движение 16 минут, то

\( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = 72 \)

\( \frac{v \cdot t_{равн} + S_{р+т}}{t_{общ}} = 72 \)

\( \frac{v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т}}{\frac{1}{3}} = 72 \)

\( v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т} = 72 \cdot \frac{1}{3} = 24 \)

\( v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т} = 24 \)

Мы не знаем \( S_{р+т} \) и \( v \) (скорость равномерного движения) как отдельные величины.

Возможная трактовка: Скорость равномерного движения \( v \) — это та скорость, которую поезд развил после разгона и поддерживал её. А 4 минуты — это суммарное время разгона и торможения, в течение которых средняя скорость была ниже \( v \).

Если предположить, что средняя скорость за 4 минуты (разгон и торможение) была равна некоторому значению \( v_{средняя\cdot4мин} \) , то:

\( S_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \)

\( S_{р+т} = v_{средняя\cdot4мин} \cdot \frac{1}{15} \)

\( v \cdot \frac{4}{15} + v_{средняя\cdot4мин} \cdot \frac{1}{15} = 24 \)

\( 4v + v_{средняя\cdot4мин} = 360 \)

В школьных задачах часто предполагается, что если разгон и торможение вместе заняли время \( t_{р+т} \), то средняя скорость за это время была некоторая \( v_{a} \), и скорость равномерного движения \( v \) такая, что \( v > v_{a} \).

Наиболее стандартное решение для таких задач:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Общее расстояние \( S = 24 \) км.

Время равномерного движения \( t_{равн} = \frac{4}{15} \) ч.

Время разгона/торможения \( t_{р+т} = \frac{1}{15} \) ч.

Если бы поезд всё время двигался со скоростью \( v \), он бы проехал \( v \cdot \frac{1}{3} \) км.

Но разгон и торможение снижают среднюю скорость. Это означает, что скорость \( v \) на участке равномерного движения должна быть больше 72 км/ч.

Предположим, что скорость \( v \) — это максимальная скорость, достигнутая поездом.

Тогда расстояние, пройденное при равномерном движении, равно \( v \cdot \frac{4}{15} \).

Расстояние, пройденное при разгоне и торможении, каким-то образом компенсируется.

Если считать, что время разгона и торможения (4 минуты) — это время, когда скорость была ниже, чем \( v \), и это привело к средней скорости 72 км/ч за всё время.

Самый логичный подход:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Расстояние, пройденное за время равномерного движения: \( S_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \).

За время разгона и торможения (4 минуты = \( \frac{1}{15} \) часа) поезд прошел расстояние \( S_{р+т} \).

\( S_{равн} + S_{р+т} = 24 \).

\( v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т} = 24 \).

Если предположить, что за 4 минуты поезд прошел расстояние, соответствующее средней скорости 72 км/ч, то это неверно, так как 72 км/ч — средняя скорость за всё время.

Давайте применим стандартную формулу для такого типа задач:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Общее расстояние \( S = 24 \) км.

Общее время \( t_{общ} = \frac{1}{3} \) часа.

Время равномерного движения \( t_{равн} = \frac{4}{15} \) часа.

Время переменного движения (разгон+торможение) \( t_{р+т} = \frac{1}{15} \) часа.

Условие, которое позволяет решить задачу: средняя скорость 72 км/ч получена за счет того, что на участке равномерного движения скорость была выше, чем 72 км/ч, и эта разница компенсировала снижение скорости во время разгона/торможения.

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

\( S_{равн} = v \cdot t_{равн} = v \cdot \frac{4}{15} \)

\( S_{р+т} \) — расстояние, пройденное за время разгона и торможения.

\( S_{равн} + S_{р+т} = 24 \)

\( v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т} = 24 \)

В задачах такого типа, где не указана максимальная скорость, часто подразумевается, что:

\( S_{р+т} = v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \cdot \frac{1}{15} \)

И \( v_{средняя\cdotза\cdot4\cdotмин} \) как-то связана с \( v \).

Если мы предположим, что поезд разгонялся до скорости \( v \) и тормозил с неё, то средняя скорость за время разгона/торможения была бы некоторой величиной.

Самый распространенный способ решения:

Пусть \( v \) — скорость равномерного движения.

Если бы поезд ехал с постоянной скоростью \( v \) всё время (20 минут = \( \frac{1}{3} \) часа), то расстояние было бы \( v \cdot \frac{1}{3} \).

Но 4 минуты были потрачены на разгон и торможение, которые снизили среднюю скорость до 72 км/ч. Значит, \( v \) должно быть больше 72 км/ч.

\( S = v \cdot t_{равн} + \text{расстояние за разгон/торможение} \)

\( 24 = v \cdot \frac{4}{15} + S_{р+т} \)

Если предположить, что средняя скорость за 4 минуты была в два раза меньше, чем скорость равномерного движения (типичное упрощение для таких задач, когда нет других данных):

\( v_{средняя\cdot4мин} = \frac{v}{2} \)

\( S_{р+т} = \frac{v}{2} \cdot \frac{1}{15} \)

\( 24 = v \cdot \frac{4}{15} + \frac{v}{2} \cdot \frac{1}{15} \)

\( 24 = \frac{4v}{15} + \frac{v}{30} \)

Приведём к общему знаменателю 30:

\( 24 = \frac{8v}{30} + \frac{v}{30} \)

\( 24 = \frac{9v}{30} \)

\( 9v = 24 \cdot 30 \)

\( 9v = 720 \)

\( v = \frac{720}{9} = 80 \) км/ч.

Проверим:

Скорость равномерного движения \( v = 80 \) км/ч.

Время равномерного движения \( t_{равн} = \frac{4}{15} \) ч.

Расстояние \( S_{равн} = 80 \cdot \frac{4}{15} = \frac{320}{15} = \frac{64}{3} \) км.

Время разгона/торможения \( t_{р+т} = \frac{1}{15} \) ч.

Средняя скорость за разгон/торможение \( v_{средняя\cdot4мин} = \frac{v}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) км/ч.

Расстояние \( S_{р+т} = 40 \cdot \frac{1}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \) км.

Общее расстояние \( S = S_{равн} + S_{р+т} = \frac{64}{3} + \frac{8}{3} = \frac{72}{3} = 24 \) км. (Совпадает)

Общее время \( t_{общ} = t_{равн} + t_{р+т} = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \) часа.

Средняя скорость \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{24}{1/3} = 24 \cdot 3 = 72 \) км/ч. (Совпадает)

Ответ: 80