С2. Один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше суммы трех остальных углов. Найдите эти четыре угла.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Два угла являются вертикальными (равными), и два других угла также являются вертикальными (равными).

Обозначим углы как \( \alpha, \beta, \alpha, \beta \), где \( \alpha \) и \( \beta \) — смежные углы, т.е. \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Пусть один из углов (например, \( \alpha \)) в 11 раз меньше суммы трех остальных углов.

Сумма всех четырех углов равна \( 2\alpha + 2\beta = 360^{\circ} \).

Условие задачи:

\( \alpha = \frac{1}{11}(\beta + \alpha + \beta) \)

\(
\alpha = \frac{1}{11}(\alpha + 2\beta) \)

Умножим обе части на 11:

\( 11\alpha = \alpha + 2\beta \)

\( 10\alpha = 2\beta \)

\( 5\alpha = \beta \).

Теперь подставим это в уравнение смежных углов:

\( \alpha + \beta = 180^{\circ} \)

\( \alpha + 5\alpha = 180^{\circ} \)

\( 6\alpha = 180^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ} \).

Найдем \( \beta \):

\( \beta = 5\alpha = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Таким образом, четыре угла равны: \( 30^{\circ}, 150^{\circ}, 30^{\circ}, 150^{\circ} \).

Проверим условие: один угол (\( 30^{\circ} \)) в 11 раз меньше суммы трех остальных (\( 150^{\circ} + 30^{\circ} + 150^{\circ} = 330^{\circ} \)).

\( 30^{\circ} = \frac{1}{11} \cdot 330^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: Четыре угла равны 30°, 150°, 30°, 150°.