СА = 78 см, СВ = 130 см. Найди тангенсы острых углов прямоугольного треугольника. (В ответе дроби сократи до несократимого вида!) tg B = tg A =

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.

Дано: CA = 78 см, CB = 130 см.

Найти: tg B, tg A

Решение:

1. Найдем сторону AB, используя теорему Пифагора: $$AB^2 = CA^2 + CB^2$$ $$AB^2 = 78^2 + 130^2 = 6084 + 16900 = 22984$$ $$AB = \sqrt{22984} = \sqrt{4 \cdot 5746} = 2\sqrt{5746}$$

Но можно проще. Т.к. известны две стороны, то можно найти третью по теореме Пифагора, а можно заметить, что треугольник подобен египетскому, т.е. стороны относятся как 3:4:5. $$AC = 78 = 6 \cdot 13$$ $$BC = 130 = 10 \cdot 13$$ Следовательно, $$AB = 8 \cdot 13 = 104$$

2. Найдем тангенс угла B. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла B, противолежащий катет - это CA, а прилежащий катет - это BC. $$tg B = \frac{CA}{BC} = \frac{78}{104} = \frac{39}{52} = \frac{3}{4} = 0.75$$

3. Найдем тангенс угла A. Для угла A, противолежащий катет - это BC, а прилежащий катет - это CA. $$tg A = \frac{BC}{CA} = \frac{130}{78} = \frac{65}{39} = \frac{5}{3}$$

Ответ: $$tg B = \frac{3}{4}; tg A = \frac{5}{3}$$