СА-14. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Вариант А1 1 Высота прямоугольного тре- угольника делит прямой угол на два угла, один из ко- торых в 4 раза больше дру- гого. Найдите острые углы данного треугольника. 2 Угол АВС равен 120°. Из точки А проведен перпен- дикуляр АМ к прямой ВС. Найдите длину отрезка ВМ, если АВ = 18 см.

Ответ: 22.5° и 67.5°; 9 см.

Вариант А1

Задание 1

1. Пусть один из углов, образованных высотой, равен \[x\], тогда другой равен \[4x\].
2. Так как высота делит прямой угол, то \[x + 4x = 90^\circ\].
3. Решаем уравнение: \[5x = 90^\circ\], отсюда \[x = 18^\circ\].
4. Углы, образованные высотой: \[18^\circ\] и \[4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\].
5. Острые углы исходного треугольника: \[90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\] и \[90^\circ - 72^\circ = 18^\circ\]. Другой способ: пусть один из острых углов \[y\] тогда \[y + 90 = 18+72+y \Rightarrow y=90-18=72\] значит второй угол \[90-72=18\]

Задание 2

1. Угол \[ABC = 120^\circ\], значит, угол \[ABM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] (смежный с \[ABC\]).
2. В прямоугольном треугольнике \[ABM\] \[\angle BAM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\].
3. Катет, лежащий против угла в \[30^\circ\], равен половине гипотенузы, то есть \[BM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\] см.

Ответ: 22.5° и 67.5°; 9 см.