1037. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а площадь его равна 700 м². 1038. Найдите два натуральных числа, если известно, что первое на 6 меньше удвоенного второго, а их произведение равно 20.

1037. Садовый участок

Пусть ширина участка равна \(x\) м, тогда длина равна \(x + 15\) м. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины и ширины, то есть \(x(x + 15) = 700\).

Решим квадратное уравнение:

\[x^2 + 15x - 700 = 0\]

Используем дискриминант для решения:

\[D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4(1)(-700) = 225 + 2800 = 3025\]

Так как \(\sqrt{3025} = 55\), то корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 55}{2} = \frac{40}{2} = 20\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 55}{2} = \frac{-70}{2} = -35\]

Поскольку ширина не может быть отрицательной, выбираем \(x = 20\) м. Тогда длина равна \(20 + 15 = 35\) м.

Периметр прямоугольника (длина изгороди) вычисляется по формуле \(P = 2(l + w)\), где \(l\) — длина, \(w\) — ширина.

Подставляем значения:

\[P = 2(35 + 20) = 2(55) = 110\]

Ответ: Длина изгороди равна 110 м.

1038. Два натуральных числа

Пусть первое число равно \(a\), а второе число равно \(b\). Из условия задачи имеем два уравнения:

1. \(a = 2b - 6\)
2. \(a \cdot b = 20\)

Подставим первое уравнение во второе:

\[(2b - 6)b = 20\] \[2b^2 - 6b - 20 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[b^2 - 3b - 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\]

Так как \(\sqrt{49} = 7\), то корни уравнения:

\[b_1 = \frac{-(-3) + 7}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[b_2 = \frac{-(-3) - 7}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Поскольку число должно быть натуральным, выбираем \(b = 5\). Тогда первое число:

\[a = 2(5) - 6 = 10 - 6 = 4\]

Проверим, что \(a \cdot b = 4 \cdot 5 = 20\), что соответствует условию.

Ответ: Первое число равно 4, второе число равно 5.