Самостійна робота «Періодичність функцій. Тригонометричні формули додавання» І Варіант

І Варіант

1. \( y = 5 \cos\left(\frac{\pi}{5} x + \frac{\pi}{8}\right) - 7 \)
• Період функції \( y = A \cos(kx + b) + C \) визначається як \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).
• У нашому випадку \( k = \frac{\pi}{5} \).
• \( T = \frac{2\pi}{|\frac{\pi}{5}|} = \frac{2\pi \cdot 5}{\pi} = 10 \).
2. \( \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{15} - \cos \frac{2\pi}{5} \sin \frac{\pi}{15} \)
• Використаємо формулу синуса різниці: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
• \( \alpha = \frac{2\pi}{5} \), \( \beta = \frac{\pi}{15} \).
• \( \sin \left(\frac{2\pi}{5} - \frac{\pi}{15}\right) = \sin \left(\frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15}\right) = \sin \left(\frac{5\pi}{15}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \).
• \( \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
3. \( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \)
• Використаємо формулу косинуса суми: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
• \( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \).
• Підставимо у вираз: \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \).
• \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = -\frac{1}{2} \sin \alpha \).
4. \( \sin(30^{\circ} + \alpha) \), якщо \( \cos \alpha = -0.6 \) і \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)
• Використаємо формулу синуса суми: \( \sin(30^{\circ} + \alpha) = \sin 30^{\circ} \cos \alpha + \cos 30^{\circ} \sin \alpha \).
• \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \sin(30^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \).
• Нам дано \( \cos \alpha = -0.6 \). Оскільки \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (другий квадрант), \( \sin \alpha > 0 \).
• Знайдемо \( \sin \alpha \) за основною тригонометричною тотожністю: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
• \( \sin^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \).
• \( \sin \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8 \) (оскільки \( \alpha \) у другому квадранті).
• Підставимо значення: \( \sin(30^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} (-0.6) + \frac{\sqrt{3}}{2} (0.8) = -0.3 + 0.4\sqrt{3} \).

Відповідь: 1. 10; 2. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \); 3. \( -\frac{1}{2} \sin \alpha \); 4. \( -0.3 + 0.4\sqrt{3} \).