Самостійна робота «Періодичність функцій. Тригонометричні формули додавання» ІІ Варіант

ІІ Варіант

1. \( y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{5} x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 \)
• Період функції \( y = A \cos(kx + b) + C \) визначається як \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).
• У нашому випадку \( k = \frac{\pi}{5} \).
• \( T = \frac{2\pi}{|\frac{\pi}{5}|} = \frac{2\pi \cdot 5}{\pi} = 10 \).
2. \( \cos 53^{\circ} \cos 8^{\circ} + \sin 53^{\circ} \sin 8^{\circ} \)
• Використаємо формулу косинуса різниці: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
• \( \alpha = 53^{\circ} \), \( \beta = 8^{\circ} \).
• \( \cos(53^{\circ} - 8^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) \).
• \( \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. \( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \)
• Використаємо формулу косинуса суми: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
• \( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \).
• Підставимо у вираз: \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \).
• \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = -\frac{1}{2} \sin \alpha \).
4. \( \cos(60^{\circ} + \alpha) \), якщо \( \sin \alpha = 0.6 \) і \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)
• Використаємо формулу косинуса суми: \( \cos(60^{\circ} + \alpha) = \cos 60^{\circ} \cos \alpha - \sin 60^{\circ} \sin \alpha \).
• \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \cos(60^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \).
• Нам дано \( \sin \alpha = 0.6 \). Оскільки \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (перший квадрант), \( \cos \alpha > 0 \).
• Знайдемо \( \cos \alpha \) за основною тригонометричною тотожністю: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
• \( \cos^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \).
• \( \cos \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8 \) (оскільки \( \alpha \) у першому квадранті).
• Підставимо значення: \( \cos(60^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} (0.8) - \frac{\sqrt{3}}{2} (0.6) = 0.4 - 0.3\sqrt{3} \).

Відповідь: 1. 10; 2. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); 3. \( -\frac{1}{2} \sin \alpha \); 4. \( 0.4 - 0.3\sqrt{3} \).