САМОСТОЯТЕЛЬ А РАБОТА № 14 Центральные и вписанные углы Вариант 1 1. Центральный угол АОВ равен 60°, а радиус ОВ ок- ружности равен 7 см. Найдите хорду АВ. 2. В окружности проведена хорда ВА, стягивающая дугу в 126°, и диаметр ВС. Найдите угол АВС. 3. Хорда АВ делит окружность на две дуги, меньшая из которых равна 110°. На большей дуге взята точка С так, что АС: UCB13:12. Найдите угол САВ. 4. Найдите острый угол, образованный двумя секущи- ми, проведёнными из точки, лежащей вне окружно- сти, если дуги, заключённые между секущими, равны 150° и 38°.

Задание 1

Центральный угол AOB равен 60°, радиус OB окружности равен 7 см. Найдите хорду AB.

Решение:

Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB (радиусы), то треугольник AOB равнобедренный. Угол AOB = 60°, следовательно, углы OAB и OBA равны \[(180° - 60°) / 2 = 60°\]. Значит, треугольник AOB равносторонний, и AB = OA = OB = 7 см.

Ответ: 7 см

Задание 2

В окружности проведена хорда BA, стягивающая дугу в 126°, и диаметр BC. Найдите угол ABC.

Решение:

Угол BAC опирается на диаметр BC, следовательно, он прямой (90°). Дуга BA равна 126°, значит, угол BOC (центральный угол, опирающийся на эту дугу) тоже равен 126°. Угол BAC - вписанный и опирается на дугу BC, значит, он равен половине дуги BC. Так как BC - диаметр, дуга BC = 180°. Тогда угол BAC = 180°/2 = 90°.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Угол BAC = 90°, угол BCA равен половине дуги BA (вписанный угол), то есть 126°/2 = 63°. Тогда угол ABC = 180° - 90° - 63° = 27°.

Ответ: 27°

Задание 3

Хорда AB делит окружность на две дуги, меньшая из которых равна 110°. На большей дуге взята точка C так, что AC : CB = 13 : 12. Найдите угол CAB.

Решение:

Пусть дуга AC = 13x, дуга CB = 12x. Тогда большая дуга AB = 360° - 110° = 250°.

Значит, 13x + 12x = 250°, 25x = 250°, x = 10°.

Дуга AC = 13 * 10° = 130°.

Угол CBA опирается на дугу AC, следовательно, угол CBA = 130°/2 = 65°.

Дуга CB = 12 * 10° = 120°.

Угол CAB опирается на дугу CB, следовательно, угол CAB = 120°/2 = 60°.

Ответ: 60°

Задание 4

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 150° и 38°.

Решение:

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности заключенных между ними дуг.

Угол = (150° - 38°) / 2 = 112° / 2 = 56°.

Ответ: 56°