Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Самостоятельна работа «Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений» Вариант 1 1. Представить многочлен в виде квадрата суммы (разности) двух чисел: 2 a) a² + 8a+16; 6) 25p10 + q8 -10p5q4 2. Заменить звёздочку одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата суммы (разности) двух чисел: 9c² + 12c + * 3. Решить уравнение: 2 a) x²+10x + 25 = 0 ; 6) 49x² - 42x + 9 = 0 4. Найти значение выражения (a - 9)² + 2(a – 9)(a + 4) + (a + 4)², если а = −1,5 5. Какое наименьшее значение принимает 2 выражение х² +6x+11? 6. Доказать, что выражение (a - b)(a - b + 4) + 4 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.
Ответ:
Привет! Сейчас я помогу тебе решить эту самостоятельную работу. Будь уверен в себе, у тебя всё получится!
1. Представить многочлен в виде квадрата суммы (разности) двух чисел:
a) \(a^2 + 8a + 16\)
Давай посмотрим, можно ли это выражение представить как квадрат суммы или разности. Заметим, что \(a^2\) это квадрат числа \(a\), а 16 это квадрат числа 4. Проверим, будет ли средний член соответствовать удвоенному произведению \(a\) и 4: \(2 \cdot a \cdot 4 = 8a\). Да, это так! Значит, можно записать:
\[a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\]
Ответ: \((a + 4)^2\)
б) \(25p^{10} + q^8 - 10p^5q^4\)
Здесь у нас \(25p^{10} = (5p^5)^2\) и \(q^8 = (q^4)^2\). Проверим средний член: \(2 \cdot 5p^5 \cdot q^4 = 10p^5q^4\). У нас есть \(-10p^5q^4\), значит, это квадрат разности:
\[25p^{10} + q^8 - 10p^5q^4 = (5p^5 - q^4)^2\]
Ответ: \((5p^5 - q^4)^2\)
2. Заменить звёздочку одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата суммы (разности) двух чисел: \(9c^2 + 12c + *\)
У нас есть \(9c^2 = (3c)^2\) и \(12c\). Чтобы выражение было полным квадратом, нужно, чтобы выполнялось условие \(2 \cdot 3c \cdot x = 12c\), где \(x\) — это число, которое мы ищем.
Решим уравнение:
\[6cx = 12c\]
\[x = \frac{12c}{6c} = 2\]
Значит, чтобы получить полный квадрат, нужно добавить \(2^2 = 4\). Тогда:
\[9c^2 + 12c + 4 = (3c + 2)^2\]
Ответ: 4
3. Решить уравнение:
а) \(x^2 + 10x + 25 = 0\)
Заметим, что это полный квадрат: \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\). Тогда уравнение можно переписать как:
\[(x + 5)^2 = 0\]
Это означает, что \(x + 5 = 0\), следовательно, \(x = -5\).
Ответ: \(x = -5\)
б) \(49x^2 - 42x + 9 = 0\)
Это тоже полный квадрат: \(49x^2 - 42x + 9 = (7x - 3)^2\). Уравнение можно переписать как:
\[(7x - 3)^2 = 0\]
Это означает, что \(7x - 3 = 0\), следовательно, \(7x = 3\), и \(x = \frac{3}{7}\).
Ответ: \(x = \frac{3}{7}\)
4. Найти значение выражения \((a - 9)^2 + 2(a - 9)(a + 4) + (a + 4)^2\), если \(a = -1.5\)
Заметим, что это выражение можно упростить, используя формулу квадрата суммы:
\[(a - 9)^2 + 2(a - 9)(a + 4) + (a + 4)^2 = ((a - 9) + (a + 4))^2\]
\[= (2a - 5)^2\]
Теперь подставим \(a = -1.5\):
\[(2 \cdot (-1.5) - 5)^2 = (-3 - 5)^2 = (-8)^2 = 64\]
Ответ: 64
5. Какое наименьшее значение принимает выражение \(x^2 + 6x + 11\)?
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
\[x^2 + 6x + 11 = (x^2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)^2 + 2\]
Так как \((x + 3)^2\) всегда неотрицательно, наименьшее значение этого выражения равно 0, когда \(x = -3\). Значит, наименьшее значение всего выражения равно:
\[(0) + 2 = 2\]
Ответ: 2
6. Доказать, что выражение \((a - b)(a - b + 4) + 4\) принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.
Преобразуем выражение:
\[(a - b)(a - b + 4) + 4 = (a - b)^2 + 4(a - b) + 4\]
Это можно представить как полный квадрат:
\[(a - b)^2 + 4(a - b) + 4 = ((a - b) + 2)^2\]
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \(((a - b) + 2)^2 \geq 0\) при любых значениях \(a\) и \(b\).
Ответ: Выражение \((a - b)(a - b + 4) + 4\) принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.
Ответ: смотри в решении
Отлично, ты хорошо поработал! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!
