Самостоятельная работа № 25 Формулы для разложения на множители выражений вида а" – b" и а" + b" 1. Разложите на множители выражение а20 + 65. 2. Докажите, что при любом натуральном и значение выра- жения: 1) 162п+3 + 1 кратно 17; 2) 19" + 35 кратно 18. 3. Упростите выражение 520 + 519. 4 + 518. 42 + ... + 5.419 + 420 – 521. - 4. Сократите дробь 215 + 214 + ... + 2+1 27 +26 + ... + 2 +1 14

1. Разложите на множители выражение а²⁰ + b⁵.

Заметим, что a²⁰ = (a⁴)⁵. Тогда выражение можно представить как сумму кубов:

a²⁰ + b⁵ = (a⁴)⁵ + b⁵

Используем формулу суммы степеней: xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 - x^n-2y + x^n-3y² - ... + y^n-1), где n - нечетное число.

Тогда получим:

(a⁴)⁵ + b⁵ = (a⁴ + b)(a¹⁶ - a¹²b + a⁸b² - a⁴b³ + b⁴)

Ответ: (a⁴ + b)(a¹⁶ - a¹²b + a⁸b² - a⁴b³ + b⁴)

2. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) 16²ⁿ⁺³ + 1 кратно 17;

Преобразуем выражение:

16²ⁿ⁺³ + 1 = 16²ⁿ * 16³ + 1 = (16²)ⁿ * 16³ + 1 = 256ⁿ * 4096 + 1

Так как 256 ≡ 1 (mod 17) и 4096 ≡ 1 (mod 17), то

256ⁿ * 4096 + 1 ≡ 1ⁿ * 1 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 17)

Тогда выражение 16²ⁿ⁺³ + 1 не кратно 17.

Доказательство неверно, так как 256 ≡ 1 (mod 17) не означает, что 256ⁿ ≡ 1 (mod 17). Правильное решение:

16²ⁿ⁺³ + 1 = (16²)ⁿ * 16³ + 1 = 256ⁿ * 4096 + 1

256 ≡ 1 (mod 17), значит 256ⁿ ≡ 1ⁿ ≡ 1 (mod 17)

4096 ≡ -1 (mod 17)

Следовательно, 256ⁿ * 4096 + 1 ≡ 1 * (-1) + 1 ≡ -1 + 1 ≡ 0 (mod 17)

Таким образом, 16²ⁿ⁺³ + 1 кратно 17.

Ответ: 16²ⁿ⁺³ + 1 кратно 17.

2) 19ⁿ + 35 кратно 18.

19 ≡ 1 (mod 18), значит 19ⁿ ≡ 1ⁿ ≡ 1 (mod 18)

35 ≡ -1 (mod 18)

Тогда 19ⁿ + 35 ≡ 1 + (-1) ≡ 0 (mod 18)

Следовательно, 19ⁿ + 35 кратно 18.

Ответ: 19ⁿ + 35 кратно 18.

3. Упростите выражение 5²⁰ + 5¹⁹ ⋅ 4 + 5¹⁸ ⋅ 4² + ... + 5 ⋅ 4¹⁹ + 4²⁰ – 5²¹.

Заметим, что данное выражение можно представить как сумму членов геометрической прогрессии, где первый член b₁ = 5²⁰, знаменатель q = 4/5, и количество членов n = 21. Тогда сумма первых n членов геометрической прогрессии равна:

S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Подставим значения:

S₂₁ = 5²⁰ * (1 - (4/5)²¹) / (1 - 4/5) = 5²⁰ * (1 - (4/5)²¹) / (1/5) = 5²¹ * (1 - (4/5)²¹)

S₂₁ = 5²¹ - 4²¹

Теперь вычтем 5²¹ из полученной суммы:

5²¹ - 4²¹ - 5²¹ = -4²¹

Ответ: -4²¹

4. Сократите дробь (2¹⁵ + 2¹⁴ + ... + 2 + 1) / (2⁷ + 2⁶ + ... + 2 + 1).

Числитель и знаменатель дроби представляют собой суммы геометрических прогрессий.

Числитель: S₁ = 2¹⁵ + 2¹⁴ + ... + 2 + 1 - геометрическая прогрессия, где b₁ = 1, q = 2, n = 16.

Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = b₁(qⁿ - 1) / (q - 1).

S₁ = 1 * (2¹⁶ - 1) / (2 - 1) = 2¹⁶ - 1.

Знаменатель: S₂ = 2⁷ + 2⁶ + ... + 2 + 1 - геометрическая прогрессия, где b₁ = 1, q = 2, n = 8.

S₂ = 1 * (2⁸ - 1) / (2 - 1) = 2⁸ - 1.

Тогда исходная дробь равна (2¹⁶ - 1) / (2⁸ - 1).

Заметим, что 2¹⁶ - 1 = (2⁸)² - 1 = (2⁸ - 1)(2⁸ + 1).

Тогда дробь можно сократить: (2¹⁶ - 1) / (2⁸ - 1) = ((2⁸ - 1)(2⁸ + 1)) / (2⁸ - 1) = 2⁸ + 1.

2⁸ + 1 = 256 + 1 = 257.

Ответ: 257