Самостоятельная работа № 21 Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды 1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 4 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоско сти основания и является равносторонним треугольни ком. Найдите объём пирамиды. 2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, сторо ны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объ ём усечённой пирамиды. 3. Площадь основания пирамиды равна 36 см², а все боко- вые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды, если радиус вписан- ного в неё шара равен 3 см. Самостоятельная работа № 22 Объёмы тел вращения 1. Угол между образующей конуса и его высотой равен с, а расстояние от центра основания до образующей кону- са равно д. Найдите объём конуса. 2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находя- щееся на расстоянии 5 см от его оси. Диагональ полу- ченного сечения равна 25 см. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна 7 см. 3. Боковая сторона равнобедренно- го треугольника равна в, а угол при основании равен с. Этот тре- угольник вращается вокруг пря- мой т, которая лежит в плоско- сти треугольника, параллельна его основанию и находится на 32 расстоянии а от него (рис. 3). Найдите объём тела вращения. B C Рис. 3 m A ay ятельная работа 22 Ha

1. Объём пирамиды

Краткая запись:

• Основание - квадрат со стороной a = 4 см
• Боковая грань ⊥ основанию, равносторонний треугольник

Логика такая:

• Определим высоту пирамиды, она же сторона равностороннего треугольника.
• Вычислим площадь основания пирамиды (площадь квадрата).
• Найдем объем пирамиды по формуле.

Решение:

Так как боковая грань перпендикулярна основанию и является равносторонним треугольником, то высота пирамиды (h) равна стороне основания (a), то есть h = a = 4 см.

Площадь основания (S) равна:

\[ S = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{см}^2 \]

Объём пирамиды (V) равен:

\[ V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64}{3} \approx 21.33 \, \text{см}^3 \]

Ответ:

\( V = \frac{64}{3} \, \text{см}^3 \) или приблизительно 21.33 см³

2. Объём усечённой пирамиды

Краткая запись:

• Высота H = 15 см
• Стороны оснований: a = 20 см, b = 8 см

Логика такая:

• Используем формулу для объема усеченной пирамиды.

Решение:

Объём усечённой пирамиды (V) равен:

\[ V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) \]

Где \( S_1 = a^2 = 20^2 = 400 \, \text{см}^2 \) и \( S_2 = b^2 = 8^2 = 64 \, \text{см}^2 \)

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot (400 + 64 + \sqrt{400 \cdot 64}) = 5 \cdot (464 + \sqrt{25600}) = 5 \cdot (464 + 160) = 5 \cdot 624 = 3120 \, \text{см}^3 \]

Ответ:

\( V = 3120 \, \text{см}^3 \)

3. Объём пирамиды с вписанным шаром

Краткая запись:

• Площадь основания S = 36 см²
• Угол между боковой гранью и основанием α = 45°
• Радиус вписанного шара r = 3 см

Логика такая:

• Найдем высоту пирамиды через радиус вписанного шара и угол наклона боковых граней.
• Вычислим объем пирамиды.

Решение:

Высота пирамиды (h) связана с радиусом вписанного шара (r) и углом наклона боковых граней (α) следующим образом:

\[ h = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} \]

Так как \( \alpha = 45^\circ \), то \( \frac{\alpha}{2} = 22.5^\circ \). Следовательно:

\[ h = \frac{3}{\tan(22.5^\circ)} \approx \frac{3}{0.414} \approx 7.25 \, \text{см} \]

Объём пирамиды (V) равен:

\[ V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7.25 = 12 \cdot 7.25 = 87 \, \text{см}^3 \]

Ответ:

\( V \approx 87 \, \text{см}^3 \)

1. Объём конуса

Краткая запись:

• Угол между образующей и высотой конуса: α
• Расстояние от центра основания до образующей: d

Логика такая:

• Выразим радиус основания и высоту конуса через заданные параметры.
• Вычислим объем конуса.

Решение:

Пусть r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Тогда \( r = d \cdot \tan(\alpha) \) и \( h = \frac{d}{\tan(\alpha)} \)

Объём конуса (V) равен:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (d \cdot \tan(\alpha))^2 \cdot \frac{d}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{3} \pi d^3 \tan(\alpha) \]

Ответ:

\[ V = \frac{1}{3} \pi d^3 \tan(\alpha) \]

2. Объём цилиндра

Краткая запись:

• Расстояние от оси до сечения: 5 см
• Диагональ сечения: 25 см
• Образующая (высота): 7 см

Логика такая:

• Найдем радиус основания цилиндра.
• Вычислим площадь основания и объем цилиндра.

Решение:

Пусть r - радиус основания цилиндра. Сечение - прямоугольник со сторонами 7 см и x см. Диагональ равна 25 см.

По теореме Пифагора: \( x^2 + 7^2 = 25^2 \Rightarrow x^2 = 625 - 49 = 576 \Rightarrow x = 24 \, \text{см} \)

Радиус основания можно найти из прямоугольного треугольника со сторонами 5, \( \frac{x}{2} = 12 \) и r:

\[ r^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow r = 13 \, \text{см} \]

Объём цилиндра (V) равен:

\[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot 13^2 \cdot 7 = \pi \cdot 169 \cdot 7 = 1183 \pi \, \text{см}^3 \]

Ответ:

\[ V = 1183 \pi \, \text{см}^3 \]

3. Объём тела вращения

Краткая запись:

• Боковая сторона равнобедренного треугольника: b
• Угол при основании: α
• Расстояние от основания до оси вращения: d

Логика такая:

• Выразим радиусы вращения и высоту образующегося тела.
• Вычислим объем тела вращения (разность объемов двух конусов).

Решение:

При вращении равнобедренного треугольника вокруг оси, параллельной основанию, образуется тело, состоящее из двух конусов с общей образующей.

Радиусы оснований конусов: \( r_1 = d \), \( r_2 = d + b \cdot \sin(\alpha) \)

Высота конусов: \( h = b \cdot \cos(\alpha) \)

Объём тела вращения (V) равен разности объемов конусов:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (r_2^2 - r_1^2) = \frac{1}{3} \pi b \cos(\alpha) ((d + b \sin(\alpha))^2 - d^2) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi b \cos(\alpha) (d^2 + 2db \sin(\alpha) + b^2 \sin^2(\alpha) - d^2) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi b \cos(\alpha) (2db \sin(\alpha) + b^2 \sin^2(\alpha)) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi b^2 \cos(\alpha) \sin(\alpha) (2d + b \sin(\alpha)) \]

Ответ:

\[ V = \frac{1}{3} \pi b^2 \cos(\alpha) \sin(\alpha) (2d + b \sin(\alpha)) \]