Самостоятельная работа № 24. Формулы корней квадратных уравнений Вариант 1 1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и оп- ределите число его корней: a) x² + 2x – 5 = 0; б) x² – 2x + 4 = 0. 2. Решите уравнение: x² – 7x + 4 = 0. 3. Решите уравнение: x² + (p + 1)x² + p = 0.

Решение:

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите число его корней:

a) $$x^2 + 2x - 5 = 0$$

Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ дискриминант вычисляется по формуле $$D = b^2 - 4ac$$. В данном случае, $$a = 1$$, $$b = 2$$, $$c = -5$$.

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

Так как дискриминант $$D > 0$$, уравнение имеет два различных действительных корня.

б) $$x^2 - 2x + 4 = 0$$

В данном случае, $$a = 1$$, $$b = -2$$, $$c = 4$$.

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$

Так как дискриминант $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

2. Решите уравнение: $$x^2 - 7x + 4 = 0$$

Для решения квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ корни можно найти по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D = b^2 - 4ac$$.

В данном случае, $$a = 1$$, $$b = -7$$, $$c = 4$$.

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 49 - 16 = 33$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$$, $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$$

3. Решите уравнение: $$x^2 + (p + 1)x^2 + p = 0$$.

Преобразуем уравнение: $$(p + 2)x^2 + p = 0$$

$$x^2 = -\frac{p}{p + 2}$$.

Если $$-\frac{p}{p + 2} > 0$$, то $$x = \pm \sqrt{-\frac{p}{p + 2}}$$.

Если $$-\frac{p}{p + 2} < 0$$, то уравнение не имеет действительных корней.

Если $$-\frac{p}{p + 2} = 0$$, то $$x = 0$$, что означает $$p = 0$$.

Для того чтобы определить, когда $$-\frac{p}{p + 2} > 0$$, рассмотрим знак дроби. Это произойдет, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

$$p < 0$$ и $$p + 2 > 0$$, тогда $$-2 < p < 0$$.

$$p > 0$$ и $$p + 2 < 0$$, тогда $$p > 0$$ и $$p < -2$$, что невозможно.

Таким образом, $$-\frac{p}{p + 2} > 0$$ при $$-2 < p < 0$$, и корни $$x = \pm \sqrt{-\frac{p}{p + 2}}$$.

Ответ:

1. a) D = 24, 2 корня;
б) D = -12, нет корней

2. $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$$, $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$$

3. Если -2 < p < 0, то $$x = \pm \sqrt{-\frac{p}{p + 2}}$$; если p = 0, то x = 0; в противном случае нет действительных корней.