Самостоятельная работа № 5 Параллельность прямой и плоскости 1. Вне плоскости параллелограмма ABCD выбрали точку E. На отрезке BE отметили точку F так, что BF : FE = 4 : 1 (рис. 17). Постройте точку М пересечения плоскости AFD и прямой CE и найдите длину отрезка FM, если BC = 10 см. 2. На ребре AA₁ призмы ABCABC отметили точку М так, что AM : MA₁ = 1 : 4. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане CD треугольника ABC, проходящей через точки В и М. В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁? • Трапеция ABCD является основан ем пирамиды SABCD (AD || BC). Известно, что BC : AD: 1 : 4. Точки М и К — середины ребер SA и SB соответс'. енно. В каком отношении плоскость DMK делит ребр SC?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие построения:

1. Продлите прямые AF и DE до пересечения в точке K.
2. Проведите прямую CK, которая пересечет прямую AD в точке L.
3. Точка M является точкой пересечения прямой CE и прямой AL (плоскость AFD).

Найдем длину отрезка FM. Так как BF:FE = 4:1, можно сказать, что BE = BF + FE = 4x + x = 5x. Следовательно, BF = (4/5)BE и FE = (1/5)BE.

Рассмотрим треугольник BCE и прямую AM, пересекающую его. По теореме Менелая:

$$\frac{BA}{AE} \cdot \frac{EM}{MC} \cdot \frac{CL}{LB} = 1$$

Чтобы найти отношение EM/MC, нужно знать отношение AL/LB. Для этого рассмотрим треугольник ABE и прямую FK, пересекающую его. По теореме Менелая:

$$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BK}{KE} \cdot \frac{ED}{DA} = 1$$

Так как BC = 10 см и ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 10 см.

Отношение ED/DA = ED/10. Чтобы найти ED, нужно найти BK/KE и AF/FB. Это требует дополнительной информации или других методов решения, которые не следуют непосредственно из предоставленных данных.

Без дополнительных данных точно определить длину отрезка FM не представляется возможным.

Для решения данной задачи нужно построить сечение призмы плоскостью, параллельной медиане CD треугольника ABC и проходящей через точки B и M. Также нужно определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁.

Пусть K — середина AB. Тогда плоскость, параллельная CD, будет проходить через точку K. Таким образом, сечение будет проходить через точки B, M и K.

Обозначим точку пересечения плоскости сечения с ребром CC₁ как точку N.

Так как AM : MA₁ = 1 : 4, можно сказать, что AA₁ = AM + MA₁ = x + 4x = 5x. Следовательно, AM = (1/5)AA₁ и MA₁ = (4/5)AA₁.

Рассмотрим треугольник AA₁C₁. Плоскость, проходящая через точку M параллельно CD, пересекает ребро CC₁ в точке N. Отношение CN : NC₁ можно найти, используя теорему Фалеса или подобие треугольников.

Поскольку плоскость сечения параллельна медиане CD, она также параллельна плоскости основания ABC. Значит, отношение CN : NC₁ будет равно отношению AM : MA₁.

Следовательно, CN : NC₁ = AM : MA₁ = 1 : 4.

Таким образом, плоскость делит ребро CC₁ в отношении 1:4.