САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 14 Площади. Формула Герона ВАРИАНТ 1 1. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 17, меньшее основание равно 12, высота — 15. Найдите пло- щадь трапеции. 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 20, 13 и 11. ВАРИАНТ 2 1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, ес- ли его боковая сторона равна 26, а медиана, проведённая к основанию, равна 24. 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 15, 14 и 13. ВАРИАНТ 3 1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 6, а медиана, проведённая к гипоте- нузе, равна 5. 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 21, 17 и 10. ВАРИАНТ 4 1. Сторона ромба равна 20, а одна из диагоналей равна 24. Найдите площадь ромба. 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 17 и 10.

ВАРИАНТ 1

1. Площадь трапеции:

Для начала, давай вспомним формулу площади трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\], где \[a\] и \[b\] — основания, а \[h\] — высота.

У нас есть меньшее основание (12) и высота (15). Нужно найти большее основание.

Проведём высоты из вершин меньшего основания. Получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Боковая сторона трапеции является гипотенузой прямоугольного треугольника. Высота является одним из катетов.

Найдём второй катет прямоугольного треугольника (это часть большего основания):

\[x = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\]

Тогда большее основание: \[b = 12 + 2 \cdot 8 = 12 + 16 = 28\]

Теперь найдём площадь трапеции:

\[S = \frac{12 + 28}{2} \cdot 15 = \frac{40}{2} \cdot 15 = 20 \cdot 15 = 300\]

2. Площадь треугольника со сторонами 20, 13 и 11:

Используем формулу Герона: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\], где \[p\] — полупериметр, a \[a, b, c\] — стороны треугольника.

Найдем полупериметр:

\[p = \frac{20 + 13 + 11}{2} = \frac{44}{2} = 22\]

Теперь найдём площадь:

\[S = \sqrt{22(22 - 20)(22 - 13)(22 - 11)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 121 \cdot 9} = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66\]

ВАРИАНТ 2

1. Площадь равнобедренного треугольника:

Боковая сторона равна 26, медиана, проведённая к основанию, равна 24.

Медиана в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также высотой.

Найдём половину основания по теореме Пифагора:

\[(\frac{a}{2})^2 = 26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100\]

\[\frac{a}{2} = \sqrt{100} = 10\]

Тогда основание \[a = 2 \cdot 10 = 20\]

Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 = 10 \cdot 24 = 240\]

2. Площадь треугольника со сторонами 15, 14 и 13:

Используем формулу Герона: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\], где \[p\] — полупериметр, a \[a, b, c\] — стороны треугольника.

Найдём полупериметр:

\[p = \frac{15 + 14 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

Теперь найдём площадь:

\[S = \sqrt{21(21 - 15)(21 - 14)(21 - 13)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 49 \cdot 4} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 84\]

ВАРИАНТ 3

1. Площадь прямоугольного треугольника:

Один из катетов равен 6, а медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5.

Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, гипотенуза равна \[2 \cdot 5 = 10\].

Найдём второй катет по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24\]

2. Площадь треугольника со сторонами 21, 17 и 10:

Используем формулу Герона: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\], где \[p\] — полупериметр, a \[a, b, c\] — стороны треугольника.

Найдём полупериметр:

\[p = \frac{21 + 17 + 10}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Теперь найдём площадь:

\[S = \sqrt{24(24 - 21)(24 - 17)(24 - 10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7} = \sqrt{24 \cdot 6 \cdot 49} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 49} = 2 \cdot 6 \cdot 7 = 84\]

ВАРИАНТ 4

1. Площадь ромба:

Сторона ромба равна 20, а одна из диагоналей равна 24.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.

Одна половина диагонали равна \[\frac{24}{2} = 12\].

Найдём вторую половину диагонали по теореме Пифагора:

\[(\frac{d}{2})^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256\]

\[\frac{d}{2} = \sqrt{256} = 16\]

Тогда вторая диагональ равна \[2 \cdot 16 = 32\].

Площадь ромба: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 32 = 12 \cdot 32 = 384\]

2. Площадь треугольника со сторонами 9, 17 и 10:

Используем формулу Герона: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\], где \[p\] — полупериметр, a \[a, b, c\] — стороны треугольника.

Найдём полупериметр:

\[p = \frac{9 + 17 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

Теперь найдём площадь:

\[S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 17)(18 - 10)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 8} = \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{4 \cdot 81 \cdot 4} = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36\]

Ответ:

• Вариант 1: 1. 300, 2. 66
• Вариант 2: 1. 240, 2. 84
• Вариант 3: 1. 24, 2. 84
• Вариант 4: 1. 384, 2. 36