САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1 Даны матрицы A = [1 -1 2] [N 4 0] [-2 -N 2] B = [-1 2 N] [1 0 4] [5 1 -N] Найти: 1) 2A-5B; 2) AB; 3) BA; 4) AB+BA; 5) (A^2)

Решение:

Даны матрицы:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} \)

\( B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & N \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & -N \end{pmatrix} \)

1. Найдём \( 2A - 5B \)

\( 2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2N & 8 & 0 \\ -4 & -2N & 4 \end{pmatrix} \)

\( 5B = 5 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & N \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & -N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 10 & 5N \\ 5 & 0 & 20 \\ 25 & 5 & -5N \end{pmatrix} \)

\( 2A - 5B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2N & 8 & 0 \\ -4 & -2N & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 & 10 & 5N \\ 5 & 0 & 20 \\ 25 & 5 & -5N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-5) & -2 - 10 & 4 - 5N \\ 2N - 5 & 8 - 0 & 0 - 20 \\ -4 - 25 & -2N - 5 & 4 - (-5N) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 & 4 - 5N \\ 2N - 5 & 8 & -20 \\ -29 & -2N - 5 & 4 + 5N \end{pmatrix} \)

2. Найдём \( AB \)

\( AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & N \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & -N \end{pmatrix} \)

\( AB = \begin{pmatrix} 1(-1) + (-1)(1) + 2(5) & 1(2) + (-1)(0) + 2(1) & 1(N) + (-1)(4) + 2(-N) \\ N(-1) + 4(1) + 0(5) & N(2) + 4(0) + 0(1) & N(N) + 4(4) + 0(-N) \\ -2(-1) + (-N)(1) + 2(5) & -2(2) + (-N)(0) + 2(1) & -2(N) + (-N)(4) + 2(-N) \end{pmatrix} \)

\( AB = \begin{pmatrix} -1 - 1 + 10 & 2 + 0 + 2 & N - 4 - 2N \\ -N + 4 + 0 & 2N + 0 + 0 & N^2 + 16 + 0 \\ 2 - N + 10 & -4 + 0 + 2 & -2N - 4N - 2N \end{pmatrix} \)

\( AB = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -N - 4 \\ 4 - N & 2N & N^2 + 16 \\ 12 - N & -2 & -8N \end{pmatrix} \)

3. Найдём \( BA \)

\( BA = \begin{pmatrix} -1 & 2 & N \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & -N \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} \)

\( BA = \begin{pmatrix} -1(1) + 2(N) + N(-2) & -1(-1) + 2(4) + N(-N) & -1(2) + 2(0) + N(2) \\ 1(1) + 0(N) + 4(-2) & 1(-1) + 0(4) + 4(-N) & 1(2) + 0(0) + 4(2) \\ 5(1) + 1(N) + (-N)(-2) & 5(-1) + 1(4) + (-N)(-N) & 5(2) + 1(0) + (-N)(2) \end{pmatrix} \)

\( BA = \begin{pmatrix} -1 + 2N - 2N & 1 + 8 - N^2 & -2 + 0 + 2N \\ 1 + 0 - 8 & -1 + 0 - 4N & 2 + 0 + 8 \\ 5 + N + 2N & -5 + 4 + N^2 & 10 + 0 - 2N \end{pmatrix} \)

\( BA = \begin{pmatrix} -1 & 9 - N^2 & 2N - 2 \\ -7 & -1 - 4N & 10 \\ 5 + 3N & N^2 - 1 & 10 - 2N \end{pmatrix} \)

4. Найдём \( AB + BA \)

\( AB + BA = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -N - 4 \\ 4 - N & 2N & N^2 + 16 \\ 12 - N & -2 & -8N \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 9 - N^2 & 2N - 2 \\ -7 & -1 - 4N & 10 \\ 5 + 3N & N^2 - 1 & 10 - 2N \end{pmatrix} \)

\( AB + BA = \begin{pmatrix} 8+(-1) & 4+(9-N^2) & (-N-4)+(2N-2) \\ (4-N)+(-7) & 2N+(-1-4N) & (N^2+16)+10 \\ (12-N)+(5+3N) & -2+(N^2-1) & -8N+(10-2N) \end{pmatrix} \)

\( AB + BA = \begin{pmatrix} 7 & 13 - N^2 & N - 6 \\ -N - 3 & -2N - 1 & N^2 + 26 \\ 17 + 2N & N^2 - 3 & 10 - 10N \end{pmatrix} \)

5. Найдём \( A^2 \)

\( A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ N & 4 & 0 \\ -2 & -N & 2 \end{pmatrix} \)

\( A^2 = \begin{pmatrix} 1(1) + (-1)(N) + 2(-2) & 1(-1) + (-1)(4) + 2(-N) & 1(2) + (-1)(0) + 2(2) \\ N(1) + 4(N) + 0(-2) & N(-1) + 4(4) + 0(-N) & N(2) + 4(0) + 0(2) \\ -2(1) + (-N)(N) + 2(-2) & -2(-1) + (-N)(4) + 2(-N) & -2(2) + (-N)(0) + 2(2) \end{pmatrix} \)

\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 - N - 4 & -1 - 4 - 2N & 2 + 0 + 4 \\ N + 4N + 0 & -N + 16 + 0 & 2N + 0 + 0 \\ -2 - N^2 - 4 & 2 - 4N - 2N & -4 + 0 + 4 \end{pmatrix} \)

\( A^2 = \begin{pmatrix} -N - 3 & -5 - 2N & 6 \\ 5N & 16 - N & 2N \\ -N^2 - 6 & 2 - 6N & 0 \end{pmatrix} \)

Ответ:

1) \( 2A - 5B = \begin{pmatrix} 7 & -12 & 4 - 5N \\ 2N - 5 & 8 & -20 \\ -29 & -2N - 5 & 4 + 5N \end{pmatrix} \)

2) \( AB = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -N - 4 \\ 4 - N & 2N & N^2 + 16 \\ 12 - N & -2 & -8N \end{pmatrix} \)

3) \( BA = \begin{pmatrix} -1 & 9 - N^2 & 2N - 2 \\ -7 & -1 - 4N & 10 \\ 5 + 3N & N^2 - 1 & 10 - 2N \end{pmatrix} \)

4) \( AB + BA = \begin{pmatrix} 7 & 13 - N^2 & N - 6 \\ -N - 3 & -2N - 1 & N^2 + 26 \\ 17 + 2N & N^2 - 3 & 10 - 10N \end{pmatrix} \)

5) \( A^2 = \begin{pmatrix} -N - 3 & -5 - 2N & 6 \\ 5N & 16 - N & 2N \\ -N^2 - 6 & 2 - 6N & 0 \end{pmatrix} \)