Самостоятельная работа № 5. Равнобедренный треугольник и его свойства. Вариант 1.

Вариант 1

1. Дано: \( \triangle ABC \), \( BD \) — высота, \( AD = DC \).
   Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
   Доказательство:
   В \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \) имеем: \( AD = DC \) (по условию), \( \angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ} \) (так как \( BD \) — высота), \( BD \) — общая сторона. По двум катетам \( \triangle ABD = \triangle CBD \). Следовательно, \( AB = BC \), что означает, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
2. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( P = 37 \) см, \( a = b - 5 \) см, где \( a \) — основание, \( b \) — боковая сторона.
   Найти: стороны треугольника.
   Решение:
   Пусть основание равно \( a \) см, а боковые стороны равны \( b \) см.
   По условию, \( a = b - 5 \) и \( P = a + 2b = 37 \).
   Подставим первое уравнение во второе: \( (b - 5) + 2b = 37 \) \( 3b - 5 = 37 \) \( 3b = 42 \) \( b = 14 \) см.
   Тогда основание \( a = b - 5 = 14 - 5 = 9 \) см.
   Ответ: Основание — 9 см, боковые стороны — по 14 см.
3. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), \( P \) на \( AB \), \( K \) на \( BC \), \( BP = BK \), \( O \) — точка пересечения \( AK \) и \( CP \).
   Доказать: \( \triangle AOC \) — равнобедренный.
   Доказательство:
   Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
   Рассмотрим \( \triangle BPK \). Так как \( BP = BK \), то \( \triangle BPK \) — равнобедренный, и \( \angle BPK = \angle BKP \).
   Так как \( \angle ABC = \angle ABC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
   В \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBP \): \( AB = BC \) (по условию), \( \angle B \) — общий, \( BP = BK \) (по условию). По первому признаку равенства треугольников \( \triangle ABK = \triangle CBP \).
   Из равенства треугольников следует, что \( AK = CP \) и \( \angle BAK = \angle BCP \).
   Рассмотрим \( \triangle AOC \). Нам нужно доказать, что \( AO = CO \).
   В \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBP \): \( AB = BC \), \( \angle B = \angle B \), \( BP = BK \). Следовательно, \( \triangle ABK = \triangle CBP \) по первому признаку равенства треугольников. Отсюда \( AK = CP \) и \( \angle BAK = \angle BCP \).
   Рассмотрим \( \triangle AOC \). Нам нужно доказать, что \( AO = CO \).
   Из \( \triangle ABK = \triangle CBP \) следует, что \( \angle BKA = \angle BPC \).
   Рассмотрим \( \triangle AOC \). Чтобы доказать, что \( \triangle AOC \) равнобедренный, нужно показать, что \( AO = CO \) или \( \angle OAC = \angle OCA \).
   Поскольку \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
   Из \( \triangle ABK = \triangle CBP \) следует, что \( \angle BAK = \angle BCP \).
   В \( \triangle AOC \) имеем: \( \angle OAC = \angle BAC - \angle BAK \) и \( \angle OCA = \angle BCA - \angle BCP \).
   Так как \( \angle BAC = \angle BCA \) и \( \angle BAK = \angle BCP \), то \( \angle OAC = \angle OCA \).
   Следовательно, \( \triangle AOC \) — равнобедренный.