Самостоятельная работа 7.2 Системы линейных уравнений с двумя переменными Вариант 1 A1. Решите систему уравнений: a) { y = 2x + 5, { 2x + 3y = 31; б) { 5x - 7y = -24, { x = -3y + 4; в) { 2x + 5y = -8, { 2x + 3y = -4; г) { -3x + 7y = 29, { 6x + 5y = 13; д) { 3x + 7y = -5, { 5x + 4y = 7. B1. Решите систему уравнений: { x+y/2 + x-y/3 = 6, { x+y/4 + x-y/3 = 6. Задания А1 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Краткое пояснение:

Решение:

A1.

а)

1. Подставим первое уравнение во второе: \( 2x + 3(2x + 5) = 31 \).
2. Раскроем скобки: \( 2x + 6x + 15 = 31 \).
3. Приведем подобные слагаемые: \( 8x = 31 - 15 \) \( 8x = 16 \).
4. Найдем \( x \): \( x = 16 : 8 \) \( x = 2 \).
5. Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение: \( y = 2(2) + 5 \) \( y = 4 + 5 \) \( y = 9 \).

Ответ: \( x = 2, y = 9 \).

б)

1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = -3y + 4 \).
2. Подставим полученное выражение в первое уравнение: \( 5(-3y + 4) - 7y = -24 \).
3. Раскроем скобки: \( -15y + 20 - 7y = -24 \).
4. Приведем подобные слагаемые: \( -22y = -24 - 20 \) \( -22y = -44 \).
5. Найдем \( y \): \( y = -44 : (-22) \) \( y = 2 \).
6. Подставим \( y = 2 \) во второе уравнение: \( x = -3(2) + 4 \) \( x = -6 + 4 \) \( x = -2 \).

Ответ: \( x = -2, y = 2 \).

в)

1. Выразим \( x \) из первого уравнения: \( 2x = -8 - 5y \) \( x = -4 - 2.5y \).
2. Подставим полученное выражение во второе уравнение: \( 2(-4 - 2.5y) + 3y = -4 \).
3. Раскроем скобки: \( -8 - 5y + 3y = -4 \).
4. Приведем подобные слагаемые: \( -2y = -4 + 8 \) \( -2y = 4 \).
5. Найдем \( y \): \( y = 4 : (-2) \) \( y = -2 \).
6. Подставим \( y = -2 \) в первое уравнение: \( 2x + 5(-2) = -8 \) \( 2x - 10 = -8 \) \( 2x = -8 + 10 \) \( 2x = 2 \) \( x = 1 \).

Ответ: \( x = 1, y = -2 \).

г)

1. Умножим первое уравнение на 2: \( -6x + 14y = 58 \).
2. Сложим полученное уравнение со вторым: \( (-6x + 14y) + (6x + 5y) = 58 + 13 \) \( 19y = 71 \).
3. Найдем \( y \): \( y = 71 / 19 \).
4. Подставим \( y = 71/19 \) в первое уравнение: \( -3x + 7(71/19) = 29 \) \( -3x + 497/19 = 29 \) \( -3x = 29 - 497/19 \) \( -3x = (29  19 - 497) / 19 \) \( -3x = (551 - 497) / 19 \) \( -3x = 54/19 \) \( x = (54/19) : (-3) \) \( x = -18/19 \).

Ответ: \( x = -18/19, y = 71/19 \).

д)

1. Умножим первое уравнение на 5: \( 15x + 35y = -25 \).
2. Умножим второе уравнение на 3: \( 33x - 9y = -39 \).
3. Сложим уравнения: \( (15x + 35y) + (33x - 9y) = -25 - 39 \) \( 48x + 26y = -64 \). (Этот шаг не ведет к прямому решению, вернемся к началу)
4. Умножим первое уравнение на 11: \( 33x + 77y = -55 \).
5. Умножим второе уравнение на 3: \( 33x - 9y = -39 \).
6. Вычтем второе уравнение из первого: \( (33x + 77y) - (33x - 9y) = -55 - (-39) \) \( 86y = -16 \) \( y = -16/86 = -8/43 \).
7. Подставим \( y = -8/43 \) в первое уравнение: \( -3x + 7(-8/43) = -9 \) \( -3x - 56/43 = -9 \) \( -3x = -9 + 56/43 \) \( -3x = (-9  43 + 56) / 43 \) \( -3x = (-387 + 56) / 43 \) \( -3x = -331/43 \) \( x = 331/129 \).

Ответ: \( x = 331/129, y = -8/43 \).

B1.

1. Преобразуем первое уравнение: \( \frac{3(x+y) + 2(x-y)}{6} = 6 \) \( 3x + 3y + 2x - 2y = 36 \) \( 5x + y = 36 \).
2. Преобразуем второе уравнение: \( \frac{3(x+y) - 4(x-y)}{12} = 6 \) \( 3x + 3y - 4x + 4y = 72 \) \( -x + 7y = 72 \).
3. Из первого преобразованного уравнения выразим \( y \): \( y = 36 - 5x \).
4. Подставим во второе преобразованное уравнение: \( -x + 7(36 - 5x) = 72 \).
5. Раскроем скобки: \( -x + 252 - 35x = 72 \).
6. Приведем подобные слагаемые: \( -36x = 72 - 252 \) \( -36x = -180 \).
7. Найдем \( x \): \( x = -180 / (-36) \) \( x = 5 \).
8. Подставим \( x = 5 \) в уравнение \( y = 36 - 5x \): \( y = 36 - 5(5) \) \( y = 36 - 25 \) \( y = 11 \).

Ответ: \( x = 5, y = 11 \).