Самостоятельная работа «Четырёхугольники», вариант 3. 1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠ABO = 62°. Найдите ∠AOD. 2) Найдите углы ромба, если один из его углов равен 40°. 3) Периметр параллелограмма ABCD равен 70 см. Сторона AB = 12 см. Найдите остальные стороны параллелограмма. 4) В равнобедренной трапеции ABCD известно, что AB = 5 см, ∠A = 60°, BC = 4 см. Найдите периметр этой трапеции.

1. В прямоугольном треугольнике ABO угол при A равен 90°, поэтому ∠AOB = 180° − 90° − 62° = 28°. Лучи OB и OD противоположны, следовательно, ∠AOD = 180° − 28° = 152°.

2. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны. Поэтому углы ромба: 40°, 140°, 40°, 140°.

3. У параллелограмма противоположные стороны равны, а периметр P = 2(AB + BC). Тогда 70 = 2(12 + BC), откуда BC = 23 см. Значит, CD = 12 см, AD = 23 см.

4. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD = 5 см. Если BC = 4 см — основание, то из равнобедренности и угла A = 60° горизонтальные проекции боковых сторон равны 5 cos 60° = 2,5 см каждая. Тогда второе основание AD = 4 + 2 · 2,5 = 9 см. Периметр: 5 + 4 + 5 + 9 = 23 см.

Ответ: 1) 152°; 2) 40°, 140°, 40°, 140°; 3) BC = AD = 23 см, CD = 12 см; 4) 23 см.