Самостоятельная работа 5.1 Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия Вариант 2 А1. Последовательность (х) задана формулой п-го члена xn=n²-5n а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности. б) Запишите седьмой член последовательности. в) Определите, содержаться ли в этой последовательности число -4. А2. В арифметической прогрессии (х) известен первый член х = 1 и разность d = -10. Найдите хъ и хр. АЗ. Последовательность (ат) – арифметическая прогрессия. Найдите ат, если а12 = 16, d = 3 В1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -318, 314, -310, .... Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Ответ:

A1:

а) Выпишем первые 5 членов последовательности x_n = n² - 5n:

• x₁ = 1² - 5(1) = 1 - 5 = -4
• x₂ = 2² - 5(2) = 4 - 10 = -6
• x₃ = 3² - 5(3) = 9 - 15 = -6
• x₄ = 4² - 5(4) = 16 - 20 = -4
• x₅ = 5² - 5(5) = 25 - 25 = 0

б) Запишем седьмой член последовательности:

• x₇ = 7² - 5(7) = 49 - 35 = 14

в) Определим, содержится ли число -4 в этой последовательности. Решим уравнение:

• n² - 5n = -4
• n² - 5n + 4 = 0

Показать пошаговые вычисления

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

• D = (-5)² - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9
• n₁ = (5 + \(\sqrt{9}\))/2 = (5 + 3)/2 = 4
• n₂ = (5 - \(\sqrt{9}\))/2 = (5 - 3)/2 = 1

Так как n₁ = 4 и n₂ = 1 являются натуральными числами, то число -4 содержится в данной последовательности.

A2:

В арифметической прогрессии (x_n) известен первый член x₁ = 1 и разность d = -10. Найдите x₆ и x₁₁.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: x_n = x₁ + (n - 1)d

• x₆ = 1 + (6 - 1)(-10) = 1 + 5(-10) = 1 - 50 = -49
• x₁₁ = 1 + (11 - 1)(-10) = 1 + 10(-10) = 1 - 100 = -99

A3:

Последовательность (a_n) – арифметическая прогрессия. Найдите a₁, если a₁₂ = 16, d = 3.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + (n - 1)d

• a₁₂ = a₁ + (12 - 1)d
• 16 = a₁ + 11(3)
• 16 = a₁ + 33
• a₁ = 16 - 33 = -17

B1:

Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -318, -314, -310, ...

Найдем разность арифметической прогрессии:

• d = -314 - (-318) = -314 + 318 = 4

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + (n - 1)d

Нам нужно найти такое n, при котором a_n > 0:

• -318 + (n - 1)4 > 0
• 4(n - 1) > 318
• n - 1 > 318/4
• n - 1 > 79.5
• n > 80.5

Следовательно, n = 81

Найдем a₈₁:

• a₈₁ = -318 + (81 - 1)4 = -318 + 80(4) = -318 + 320 = 2

Ответ: A1: а) -4, -6, -6, -4, 0; б) 14; в) да; A2: x₆ = -49, x₁₁ = -99; A3: a₁ = -17; B1: 2