Самостоятельная работа 4.4 Дробные рациональные уравнения Вариант 1 А1. Решите уравнение: a) x²-3x+2/2-x = 0; б)x+4=5/x; в) x/x+5 + x+5/x-5 = 50/x²-25 А2. Первый лыжник проходит расстояние 20 км на 20 мин быстрее второго, так как его скорость на 2 км/ч больше. Найдите скорость первого и скорость второго лыжника. В1. Найдите корни уравнения: x-3/x-2 + x-2/x-3 = 2 1/2

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решаем уравнения и задачу, используя алгебраические преобразования и формулы.

Логика такая:

Разложим числитель на множители: \[x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\]
Тогда уравнение можно переписать как: \[\frac{(x-1)(x-2)}{2-x} = 0\]
Заметим, что \(2-x = -(x-2)\), поэтому: \[\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-2)} = 0\]
Сокращаем \((x-2)\) при условии \(x
eq 2\): \[-(x-1) = 0\]
Решаем уравнение: \[x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\]

Ответ: \(x = 1\)

Логика такая:

Ответ: \(x_1 = 1, \quad x_2 = -5\)

Логика такая:

Приведем к общему знаменателю, учитывая, что \(x^2-25 = (x+5)(x-5)\):
\[\frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{(x+5)(x+5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{50}{(x+5)(x-5)}\]
Умножим обе части на \((x+5)(x-5)\) (при условии \(x
eq \pm 5\)): \[x(x-5) + (x+5)^2 = 50\]
Раскрываем скобки: \[x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25 = 50\]
Упрощаем: \[2x^2 + 5x - 25 = 0\]
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 5^2 - 4(2)(-25) = 25 + 200 = 225\]
\[x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-5 \pm 15}{4}\]
\[x_1 = \frac{-5+15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5, \quad x_2 = \frac{-5-15}{4} = \frac{-20}{4} = -5\]
Поскольку \(x
eq \pm 5\), то \(x = -5\) не является решением.

Ответ: \(x = 2.5\)

Логика такая:

Пусть скорость второго лыжника равна \(v\) км/ч, тогда скорость первого лыжника равна \(v+2\) км/ч.
Время, которое тратит первый лыжник: \(t_1 = \frac{20}{v+2}\) часов.
Время, которое тратит второй лыжник: \(t_2 = \frac{20}{v}\) часов.
Разница во времени составляет 20 минут, что равно \(\frac{1}{3}\) часа: \[t_2 - t_1 = \frac{1}{3}\]
Подставляем: \[\frac{20}{v} - \frac{20}{v+2} = \frac{1}{3}\]
Приводим к общему знаменателю: \[\frac{20(v+2) - 20v}{v(v+2)} = \frac{1}{3}\]
Упрощаем: \[\frac{40}{v^2+2v} = \frac{1}{3}\]
Умножаем крест-накрест: \[v^2 + 2v = 120\]
Переносим все в одну сторону: \[v^2 + 2v - 120 = 0\]
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 2^2 - 4(1)(-120) = 4 + 480 = 484\]
\[v_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}\]
\[v_1 = \frac{-2+22}{2} = 10, \quad v_2 = \frac{-2-22}{2} = -12\]
Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость второго лыжника равна 10 км/ч, а скорость первого лыжника равна 12 км/ч.

Ответ: Скорость первого лыжника 12 км/ч, скорость второго лыжника 10 км/ч.

Логика такая:

Заменим \(t = \frac{x-3}{x-2}\), тогда уравнение примет вид: \[t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\]
Умножим обе части на \(2t\) (при условии \(t
eq 0\)): \[2t^2 + 2 = 5t\]
Переносим все в одну сторону: \[2t^2 - 5t + 2 = 0\]
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\]
\[t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\]
\[t_1 = \frac{5+3}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}\]
Возвращаемся к исходной переменной:
Если \(t = 2\): \[\frac{x-3}{x-2} = 2 \Rightarrow x-3 = 2(x-2) \Rightarrow x-3 = 2x-4 \Rightarrow x = 1\]
Если \(t = \frac{1}{2}\): \[\frac{x-3}{x-2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(x-3) = x-2 \Rightarrow 2x-6 = x-2 \Rightarrow x = 4\]
Проверим, что \(x
eq 2\) и \(x
eq 3\).

Ответ: \(x_1 = 1, \quad x_2 = 4\)