Самостоятельная работа к урокам 13-16 1 Построй четырёхугольник ABCD по координатам его вершин. Проведи диагонали АС и BD и найди координаты их точки пересечения М. A (2, 0), B (0,7), C (8, 9), D (6, 1).

Построение четырёхугольника ABCD и нахождение точки пересечения диагоналей

Для решения задачи построим четырёхугольник ABCD в системе координат по заданным вершинам и найдём точку пересечения его диагоналей AC и BD.

1. Построение четырёхугольника:

Отметим точки на координатной плоскости:

• A(2, 0)
• B(0, 7)
• C(8, 9)
• D(6, 1)

Соединим точки последовательно: A → B → C → D → A.

2. Нахождение уравнения диагонали AC:

Диагональ AC соединяет точки A(2, 0) и C(8, 9).

Найдем угловой коэффициент \( k_{AC} \):

\[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{9 - 0}{8 - 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 0) с угловым коэффициентом \( k_{AC} = \frac{3}{2} \):

\[ y - y_A = k_{AC}(x - x_A) \]\[ y - 0 = \frac{3}{2}(x - 2) \]\[ y = \frac{3}{2}x - 3 \]

3. Нахождение уравнения диагонали BD:

Диагональ BD соединяет точки B(0, 7) и D(6, 1).

Найдем угловой коэффициент \( k_{BD} \):

\[ k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{1 - 7}{6 - 0} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Уравнение прямой, проходящей через точку B(0, 7) с угловым коэффициентом \( k_{BD} = -1 \):

\[ y - y_B = k_{BD}(x - x_B) \]\[ y - 7 = -1(x - 0) \]\[ y - 7 = -x \]\[ y = -x + 7 \]

4. Нахождение точки пересечения диагоналей M:

Для нахождения точки пересечения M решим систему уравнений, составленную из уравнений диагоналей AC и BD:

\[ \begin{cases} y = \frac{3}{2}x - 3 \\ y = -x + 7 \end{cases} \]

Приравняем правые части уравнений:

\[ \frac{3}{2}x - 3 = -x + 7 \]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 3x - 6 = -2x + 14 \]

Перенесем члены с x в левую часть, а постоянные — в правую:

\[ 3x + 2x = 14 + 6 \]\[ 5x = 20 \]\[ x = \frac{20}{5} = 4 \]

Подставим значение \( x = 4 \) в любое из уравнений, например, во второе:

\[ y = -4 + 7 = 3 \]

Таким образом, точка пересечения диагоналей M имеет координаты (4, 3).

5. Построение в системе координат:

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей M(4, 3).