Самостоятельная работа 7 класс ІІ вариант «Свойства равнобедренного треугольника» 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см. Найдите стороны треугольни- ка, если его основание на 4 см больше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АC = 14 см отрезок ВК биссектриса, угол АВК равен 40°. Найдите КС, угол АВС, угол ВКС. 3. На основании МК равнобедренного треугольника МВК отмечены точки Ти Стак, что МТ = КС. Докажите, что a) △ MBT = ∆ КВС; б) ДТ ВС – равнобедренный. 4*. В равнобедренном треуголь- нике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точ- ка М. Докажите равенство треугольников AMD и CMD. B M A D C

II Вариант

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 4 см больше боковой стороны.

Пусть x см - боковая сторона, тогда (x+4) см - основание. Периметр равен сумме длин всех сторон.

$$x + x + (x+4) = 28$$

$$3x + 4 = 28$$

$$3x = 24$$

$$x = 8$$

Боковая сторона равна 8 см, основание 8 + 4 = 12 см

Ответ: 8 см, 8 см, 12 см

---

2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АC = 14 см отрезок ВК биссектриса, угол АВК равен 40°. Найдите КС, угол АВС, угол ВКС.

ВК - биссектриса, значит угол АВК = углу СВК = 40°, тогда угол АВС = угол АВК + угол СВК = 40° + 40° = 80°.

Рассмотрим треугольник АВК: угол ВАК = углу ВСА (углы при основании равнобедренного треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол ВКА = 180° - (угол АВК + угол ВАК) = 180° - (40° + углу ВАК)

2 * угол ВАК + 80° = 180°

2 * угол ВАК = 100°

угол ВАК = 50° = углу ВСА

Угол ВКА = 180° - (40° + 50°) = 180° - 90° = 90°

КС = АС/2 = 14/2 = 7 см, так как ВК - биссектриса, а значит и медиана в равнобедренном треугольнике.

Ответ: КС = 7 см, угол АВС = 80°, угол ВКС = 90°

---

3. На основании МК равнобедренного треугольника МВК отмечены точки Ти С так, что МТ = КС. Докажите, что a) △ MBT = ∆ КВС; б) ДТ ВС – равнобедренный.

а) Рассмотрим треугольники МВТ и КВС.

По условию задачи МТ = КС, ВК = ВМ (боковые стороны равнобедренного треугольника), углы при основании МК равны, то есть угол ВМТ = углу ВКС.

Следовательно, треугольники МВТ и КВС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Так как треугольники МВТ и КВС равны, то СВ = ВТ, а значит треугольник СВТ - равнобедренный.

Ответ: доказано

---

4*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точка М. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Рассмотрим треугольники AMD и CMD.

MD - общая сторона, АD = DC (так как BD - высота, а значит и медиана в равнобедренном треугольнике).

Так как BD - высота, то угол BDA = углу BDC = 90°, значит угол MDA = углу MDC = 90°.

Треугольники AMD и CMD равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: доказано