Самостоятельная работа Координаты точки и координаты вектора Вариант 1

Решение:

1. Построение точек:

• А(1,2,3): От начала координат (0,0,0) отступить 1 единицу по оси Ox, затем 2 единицы по оси Oy и 3 единицы по оси Oz.
• B(-2,0,3): От начала координат отступить 2 единицы против оси Ox, затем 0 по оси Oy и 3 единицы по оси Oz.
• C(0,0,-4): На оси Oz от начала координат отступить 4 единицы против оси Oz.
• D(3,-1,0): От начала координат отступить 3 единицы по оси Ox, затем 1 единицу против оси Oy.

2. Точки, принадлежащие:

• а) оси Оу: Точки, у которых x=0 и z=0. Из данных: M(0,6,0).
• б) оси Оz: Точки, у которых x=0 и y=0. Из данных: P(0,0,-20).
• в) плоскости Оху: Точки, у которых z=0. Из данных: N(7,-8,0).
• г) плоскости Oyz: Точки, у которых x=0. Из данных: M(0,6,0).

3. Координаты вектора:

• а) $$\vec{n}$$, если $$\vec{n} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 4\vec{k}$$: $$\vec{n}(2; 3; -4)$$
• б) $$\vec{b}$$, если $$\vec{b} = -5\vec{i}$$: $$\vec{b}(-5; 0; 0)$$
• в) $$\vec{c} = -3\vec{a} + 5\vec{b}$$, если $$\vec{a}(1,5;-3)$$ и $$\vec{b}(2,3,-1)$$: \\ $$\vec{c} = -3(1; 5; -3) + 5(2; 3; -1) = (-3; -15; 9) + (10; 15; -5) = (-3+10; -15+15; 9-5) = (7; 0; 4)$$. Ответ: $$\vec{c}(7; 0; 4)$$.

4. Длина вектора:

• а) $$\vec{a}(1; -2; 10)$$: $$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 4 + 100} = \sqrt{105} $$
• б) $$\vec{AB}$$, если A(0,-5,1), B(2,0,-8): $$\vec{AB} = (2-0; 0-(-5); -8-1) = (2; 5; -9)$$. $$ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 25 + 81} = \sqrt{110} $$

5. Координаты середины отрезка GH:

• Если G(3,-2,4), H(5,2,-6), то середина отрезка (M) имеет координаты: $$ M \left( \frac{3+5}{2}; \frac{-2+2}{2}; \frac{4+(-6)}{2} \right) = M \left( \frac{8}{2}; \frac{0}{2}; \frac{-2}{2} \right) = M(4; 0; -1) $$.

Ответ:

• 1. Точки построены согласно координатам.
• 2. а) M(0,6,0); б) P(0,0,-20); в) N(7,-8,0); г) M(0,6,0).
• 3. а) (2; 3; -4); б) (-5; 0; 0); в) (7; 0; 4).
• 4. а) $$\sqrt{105}$$; б) $$\sqrt{110}$$.
• 5. (4; 0; -1).