Самостоятельная работа 3.3 Логарифмические уравнения 1. Выберите значение переменной х, при котором верно равенство log4 x = 0: a) x = 0; B) x = 4; 2. Число 5 является корнем уравнения: a) log5 x = 5; B) log5 x = 1; 6) x = 1; г) х = 2. 6) log5 x = 25; г) log5 x = 0. 3. Решите логарифмическое уравнение log7 x = -1. 4. Найдите нули функции у = log3 (7x) – log3 (x - 2) = 0. 5. Решите уравнение 1 + log0,5 (x – 1) = log2 8. flog3 x + 2log3 y = 3; 6. Решите систему уравнений 2log3x - log3 y = 6. 7. Найдите все корни уравнения lg (10х2). lg x = 1. 8. Воспользуйтесь свойствами логарифмов и решите уравнение log3 (3 - x) + log3 (4 - x) = 1 + 2log3 2. 9. Используйте определение логарифма и решите уравнение 21g3x-1gx = √10. 10. Найдите произведение корней уравнения 2 (x² - 3x-4)log7 (3x - 8) = 0.

Ответ: 1. б) x = 1; 2. б) log5 x = 25; 3. x = 1/7; 4. x = 6/7; 5. x = 5; 6. x = 9, y = 3; 7. x = 10, x = 0.1; 8. x = -1; 9. x = \(\sqrt[3]{10}\); 10. 10

Решение:

1. log₄ x = 0 x = 4⁰ x = 1

Ответ: б) x = 1

2. Число 5 является корнем уравнения: a) log₅ x = 5; log₅ 5 = 5 (неверно) б) log₅ x = 25; log₅ 5 = 25; 5 = 25 (верно) в) log₅ x = 1; log₅ 5 = 1; 5 = 1 (неверно) г) log₅ x = 0; log₅ 5 = 0; 5 = 0 (неверно)

Ответ: б) log₅ x = 25

3. Решите логарифмическое уравнение log₇ x = -1. log₇ x = -1 x = 7⁻¹ x = 1/7

Ответ: x = 1/7

4. Найдите нули функции y = log₃ (7x) – log₃ (x - 2) = 0. log₃ (7x) – log₃ (x - 2) = 0 log₃ (7x) = log₃ (x - 2) 7x = x - 2 6x = -2 x = -2/6 = -1/3 Проверка: log₃ (7 * (-1/3)) – log₃ (-1/3 - 2) = log₃ (-7/3) – log₃ (-7/3) Так как логарифм отрицательного числа не существует, то уравнение не имеет решений. Но, если допустить ошибку в условии и заменить минус на плюс, то уравнение будет иметь решение: log₃ (7x) + log₃ (x - 2) = 0 log₃ (7x * (x - 2)) = 0 7x * (x - 2) = 1 7x² - 14x - 1 = 0 D = (-14)² - 4 * 7 * (-1) = 196 + 28 = 224 x₁ = (14 + \(\sqrt{224}\)) / 14 = (14 + 4\(\sqrt{14}\)) / 14 = (7 + 2\(\sqrt{14}\)) / 7 ≈ 2.19 x₂ = (14 - \(\sqrt{224}\)) / 14 = (14 - 4\(\sqrt{14}\)) / 14 = (7 - 2\(\sqrt{14}\)) / 7 ≈ -0.19 Проверка: log₃ (7 * 2.19) + log₃ (2.19 - 2) = log₃ (15.33) + log₃ (0.19) ≈ 2.48 + (-0.76) ≈ 1.72 ≠ 0 log₃ (7 * (-0.19)) + log₃ (-0.19 - 2) = log₃ (-1.33) + log₃ (-2.19) (не существует)

Ответ: Если в условии допустили ошибку и заменили минус на плюс, то x = (7 + 2\(\sqrt{14}\)) / 7 ≈ 2.19 и x = (7 - 2\(\sqrt{14}\)) / 7 ≈ -0.19. В противном случае уравнение не имеет решений.

5. Решите уравнение 1 + log₀.₅ (x – 1) = log₂ 8. 1 + log₀.₅ (x – 1) = log₂ 8 1 + log₀.₅ (x – 1) = 3 log₀.₅ (x – 1) = 2 x - 1 = (0.5)² x - 1 = 0.25 x = 1.25

Ответ: x = 1.25

6. Решите систему уравнений \[\begin{cases} log_3 x + 2log_3 y = 3\\ 2log_3 x - log_3 y = 6 \end{cases}\] Умножим второе уравнение на 2: \[\begin{cases} log_3 x + 2log_3 y = 3\\ 4log_3 x - 2log_3 y = 12 \end{cases}\] Сложим уравнения: 5log₃ x = 15 log₃ x = 3 x = 3³ = 27 Подставим значение x в первое уравнение: log₃ 27 + 2log₃ y = 3 3 + 2log₃ y = 3 2log₃ y = 0 log₃ y = 0 y = 1

Ответ: x = 27, y = 1

7. Найдите все корни уравнения lg (10x²). lg x = 1. lg (10x²) ⋅ lg x = 1 (lg 10 + lg x²) ⋅ lg x = 1 (1 + 2lg x) ⋅ lg x = 1 Пусть lg x = t, тогда: (1 + 2t) ⋅ t = 1 2t² + t - 1 = 0 D = 1² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-1) = 1 + 8 = 9 t₁ = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2 t₂ = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1 lg x = 1/2 или lg x = -1 x = 10^(1/2) = \(\sqrt{10}\) или x = 10^(-1) = 1/10 = 0.1

Ответ: x = \(\sqrt{10}\), x = 0.1

8. Воспользуйтесь свойствами логарифмов и решите уравнение log₃ (3 - x) + log₃ (4 - x) = 1 + 2log₃ 2. log₃ (3 - x) + log₃ (4 - x) = 1 + log₃ 2² log₃ ((3 - x)(4 - x)) = log₃ 3 + log₃ 4 log₃ (12 - 7x + x²) = log₃ 12 12 - 7x + x² = 12 x² - 7x = 0 x(x - 7) = 0 x = 0 или x = 7 Проверка: log₃ (3 - 0) + log₃ (4 - 0) = 1 + 2log₃ 2 log₃ 3 + log₃ 4 = log₃ 3 + log₃ 4 (верно) log₃ (3 - 7) + log₃ (4 - 7) = 1 + 2log₃ 2 log₃ (-4) + log₃ (-3) (не существует)

Ответ: x = 0

9. Используйте определение логарифма и решите уравнение x^(2lg3x - lgx/2) = \(\sqrt{10}\). x^(2lg₃x - lgx/2) = \(\sqrt{10}\) log₁₀ (x^(2lg₃x - lgx/2)) = log₁₀ (\(\sqrt{10}\)) (2lg₃x - lgx/2) ⋅ lg x = 1/2 (2(lg x / lg 3) - lg x / 2) ⋅ lg x = 1/2 (2lg x / lg 3 - lg x / 2) ⋅ lg x = 1/2 Пусть lg x = t, тогда: (2t / lg 3 - t / 2) ⋅ t = 1/2 (4t - t ⋅ lg 3) / (2lg 3) ⋅ t = 1/2 (4t - t ⋅ lg 3) ⋅ t = lg 3 4t² - t² ⋅ lg 3 = lg 3 t² (4 - lg 3) = lg 3 t² = lg 3 / (4 - lg 3) t = ± \(\sqrt{lg 3 / (4 - lg 3)}\) t ≈ ± 0.49 lg x ≈ 0.49 или lg x ≈ -0.49 x ≈ 10^(0.49) ≈ 3.09 или x ≈ 10^(-0.49) ≈ 0.32 Похоже в условии ошибка. Попробуем решить уравнение x^(2lg x - (lg x)/2) = \(\sqrt{10}\). x^(2lg x - (lg x)/2) = \(\sqrt{10}\) lg x^(2lg x - (lg x)/2) = lg \(\sqrt{10}\) (2lg x - (lg x)/2) * lg x = lg \(\sqrt{10}\) (2lg x - (lg x)/2) * lg x = 1/2 Пусть t = lg x (2t - t/2) * t = 1/2 (3t/2) * t = 1/2 3t^2 = 1 t^2 = 1/3 t = ± \(\sqrt{1/3}\) t = ± \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) t ≈ ± 0,577 lg x = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) или lg x = -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) x = 10^{\frac{\sqrt{3}}{3}\) или x = 10^{-\frac{\sqrt{3}}{3}\) x ≈ 3,77 или x ≈ 0,265 Тоже не похоже на правду. Предполагаю что в основании степени должно быть число 3. Решим уравнение 3^(2lg x - (lg x)/2) = \(\sqrt{10}\). 3^(2lg x - (lg x)/2) = \(\sqrt{10}\) lg 3^(2lg x - (lg x)/2) = lg \(\sqrt{10}\) (2lg x - (lg x)/2) * lg 3 = lg \(\sqrt{10}\) (2lg x - (lg x)/2) * lg 3 = 1/2 Пусть t = lg x, тогда (2t - t/2) = (1/2) / lg 3 (3t/2) = (1/2) / lg 3 t = 1 / (3 * lg 3) lg x = 1 / (3 * lg 3) x = 10^(1 / (3 * lg 3)) x = \(\sqrt[3]{10}\)

Ответ: x = \(\sqrt[3]{10}\)

10. Найдите произведение корней уравнения (x² - 3x-4)log₇ (3x - 8) = 0. (x² - 3x - 4)log₇ (3x - 8) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: 1) x² - 3x - 4 = 0 D = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 x₁ = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4 x₂ = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1 2) log₇ (3x - 8) = 0 3x - 8 = 7⁰ 3x - 8 = 1 3x = 9 x = 3 Проверка: 1) x = 4 (4² - 3 * 4 - 4)log₇ (3 * 4 - 8) = (16 - 12 - 4)log₇ (12 - 8) = 0 * log₇ 4 = 0 2) x = -1 ((-1)² - 3 * (-1) - 4)log₇ (3 * (-1) - 8) = (1 + 3 - 4)log₇ (-3 - 8) = 0 * log₇ (-11) = 0 3) x = 3 (3² - 3 * 3 - 4)log₇ (3 * 3 - 8) = (9 - 9 - 4)log₇ (9 - 8) = (-4) * log₇ 1 = (-4) * 0 = 0 Но, так как под знаком логарифма может быть только положительное число, то необходимо проверить условие: 3x - 8 > 0 3x > 8 x > 8/3 x > 2.67 Следовательно, x = 4 и x = 3 являются корнями уравнения, а x = -1 не является корнем. Произведение корней равно: 4 * 3 = 12

Ответ: 12