Самостоятельная работа «Логарифмы». 1 вариант. 1. Вычислите: а) $\log_3\frac{1}{27}$; б) $\log_4 4$; в) $\log_{\frac15}125$; г) $\left(\frac13\right)^{2\log_{\frac13}7}$; д) [неразборчивое выражение]; е) $\log_{0,1}5+\log_{0,1}2$; ж) $\log_7 3-\log_7\frac{3}{343}$; з) $\log_3 120-\log_3 10-\log_3 4$. 2. Вычислите: а) $\log_{\sqrt7}(49\sqrt7)$; б) $\frac{1}{2^{\log_{125}8}}$; в) $\log_3\sqrt3\cdot\log_3\sqrt[4]3-\log_{\sqrt3}3\cdot\log_{\sqrt[4]3}3$. 3. Найдите значение выражения $\log_2 360$, если $\log_2 20=a$, $\log_2 15=b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Самостоятельная работа «Логарифмы». 1 вариант. 1. Вычислите: а) $\log_3\frac{1}{27}$; б) $\log_4 4$; в)…$ Фото задания

Самостоятельная работа «Логарифмы». 1 вариант. 1. Вычислите: а) $\log_3\frac{1}{27}$; б) $\log_4 4$; в) $\log_{\frac15}125$; г) $\left(\frac13\right)^{2\log_{\frac13}7}$; д) [неразборчивое выражение]; е) $\log_{0,1}5+\log_{0,1}2$; ж) $\log_7 3-\log_7\frac{3}{343}$; з) $\log_3 120-\log_3 10-\log_3 4$. 2. Вычислите: а) $\log_{\sqrt7}(49\sqrt7)$; б) $\frac{1}{2^{\log_{125}8}}$; в) $\log_3\sqrt3\cdot\log_3\sqrt[4]3-\log_{\sqrt3}3\cdot\log_{\sqrt[4]3}3$. 3. Найдите значение выражения $\log_2 360$, если $\log_2 20=a$, $\log_2 15=b$.

Accepted Answer

1.

а) $\frac{1}{27}=3^{-3}$, поэтому $\log_3\frac{1}{27}=-3$.
б) $\log_4 4=1$.
в) $\frac15=5^{-1}$, а $125=5^3$, поэтому $\log_{\frac15}125=-3$.
г) По определению логарифма $\left(\frac13\right)^{\log_{\frac13}7}=7$. Следовательно, выражение равно $7^2=49$.
д) Выражение на фотографии неразборчиво; пришлите его фрагмент целиком.
е) По свойству суммы логарифмов $\log_{0,1}5+\log_{0,1}2=\log_{0,1}10=-1$.
ж) $\log_7 3-\log_7\frac{3}{343}=\log_7\frac{3}{3/343}=\log_7 343=3$.
з) $\log_3 120-\log_3 10-\log_3 4=\log_3\frac{120}{10\cdot4}=\log_3 3=1$.

2.

а) $49\sqrt7=7^{5/2}=(\sqrt7)^5$, поэтому $\log_{\sqrt7}(49\sqrt7)=5$.
б) В показателе $\log_{125}8=\frac{3}{\log_5 2}$, поскольку $125=5^3$ и $8=2^3$. Поэтому $2^{\log_{125}8}=2^{3/\log_5 2}=5$, а данное выражение равно $\frac15$.
в) $\log_3\sqrt3=\frac12$, $\log_3\sqrt[4]3=\frac14$, $\log_{\sqrt3}3=2$, $\log_{\sqrt[4]3}3=4$. Значит, $\frac12\cdot\frac14-2\cdot4=\frac18-8=-\frac{63}{8}$.

3. Так как $360=\frac{20\cdot15\cdot3}{2}$, получаем $\log_2 360=\log_2 20+\log_2 15+\log_2 3-1$. При данных $a=\log_2 20$ и $b=\log_2 15$ остаётся неизвестным $\log_2 3$. Более того, $\log_2 20=2+\log_2 5$ и $\log_2 15=\log_2 3+\log_2 5$, поэтому $\log_2 3=b-a+2$. Следовательно, $\log_2 360=2a+2b+1$.

Ответ: 1) а) −3; б) 1; в) −3; г) 49; е) −1; ж) 3; з) 1. 2) а) 5; б) $\frac15$; в) $-\frac{63}{8}$. 3) $2a+2b+1$. Пункт 1д нельзя вычислить без читаемого выражения.