Самостоятельная работа 01.2 Основные тригонометрические формулы Вариант 2 А1. Упростите выражение: a) 2ctga(1-cos²a); 6) 9cos²a-6+9sin²a; s) ctg (-a)tg (-a)-sin²(-a). А2. Докажите тождество: sina(1+ctg²a)-cos² a = sin² a. АЗ. Найдите значение 18а, если cosa = (. А4. Вычислите: а) cos(-945°); 6) sin 477; 6) ctg (-27). sina 1+cosa 2 sina sina В1. Упростите выражение: 1+cos a

А1. Упростите выражение:

a) \( 2ctg a (1 - cos^2 a) = 2ctg a sin^2 a = 2 \frac{cos a}{sin a} sin^2 a = 2 cos a sin a = sin 2a \)

Ответ: \( sin 2a \)

б) \( 9cos^2 a - 6 + 9sin^2 a = 9(cos^2 a + sin^2 a) - 6 = 9 \cdot 1 - 6 = 3 \)

Ответ: 3

в) \( ctg(-a)tg(-a) - sin^2(-a) = -ctg(a)(-tg(a)) - sin^2(a) = ctg(a)tg(a) - sin^2(a) = 1 - sin^2(a) = cos^2 a \)

Ответ: \( cos^2 a \)

А2. Докажите тождество: \( sin^2 a (1 + ctg^2 a) - cos^2 a = sin^2 a \)

\[ sin^2 a (1 + ctg^2 a) - cos^2 a = sin^2 a (1 + \frac{cos^2 a}{sin^2 a}) - cos^2 a = sin^2 a + cos^2 a - cos^2 a = sin^2 a \]

Тождество доказано.

A3. Найдите значение \( tg \alpha \), если \( cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \), \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \)

\[ sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \]

Так как \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \), то \( sin \alpha < 0 \), следовательно, \( sin \alpha = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3} \)

\[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Ответ: \( tg \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

A4. Вычислите:

а) \( cos(-945°) = cos(945°) = cos(945° - 2 \cdot 360°) = cos(225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

б) \( sin \frac{47\pi}{6} = sin (\frac{47\pi}{6} - 4\pi - 2\pi)= sin (\frac{47\pi}{6} - \frac{36\pi}{6} - \frac{12\pi}{6}) = sin(-\frac{\pi}{6}) = - sin (\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\)

в) \( ctg(-\frac{27\pi}{4}) = -ctg(\frac{27\pi}{4}) = -ctg(\frac{27\pi}{4} - 6\pi) = -ctg(\frac{3\pi}{4}) = -(-1) = 1 \)

Ответ: 1

В1. Упростите выражение:

\[ \frac{sin a}{1 + cos a} + \frac{1 + cos a}{sin a} = \frac{sin^2 a + (1 + cos a)^2}{sin a (1 + cos a)} = \frac{sin^2 a + 1 + 2cos a + cos^2 a}{sin a (1 + cos a)} = \frac{2 + 2cos a}{sin a (1 + cos a)} = \frac{2(1 + cos a)}{sin a (1 + cos a)} = \frac{2}{sin a} \]

Ответ: \(\frac{2}{sin a}\)