Самостоятельная работа по геометрии «Прямоугольный параллелепипед» Вариант 1 1. В прямоугольном параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите длину диагонали параллелепипеда. 2. Найдите расстояние между вершинами B и C₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 6, AD = 6, AA₁ = 8. 3. Куб имеет ребро а=4 см. Вычислите длину диагонали куба. 4. Диагональ куба равна 6√3 см. Найдите ребро куба. 5. В прямоугольном параллелепипеде диагональ образует с основанием угол 30°. Высота параллелепипеда равна 5 см. Найдите длину диагонали.

Давай решим задачи по геометрии шаг за шагом.

Задача 1

В прямоугольном параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите длину диагонали параллелепипеда.

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда может быть найдена по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

где a, b, c - длины рёбер параллелепипеда.

В данном случае a = 3 см, b = 4 см, c = 12 см. Подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна 13 см.

Ответ: 13 см

Задача 2

Найдите расстояние между вершинами B и C₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 6, AD = 6, AA₁ = 8.

Расстояние между вершинами B и C₁ можно найти, используя теорему Пифагора в трехмерном пространстве. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁ , где AC₁ - гипотенуза, а AB и BC₁ - катеты.

Сначала найдем длину BC₁:

\[BC_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Теперь найдем расстояние между B и C₁:

\[BC_1 = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\]

Таким образом, расстояние между вершинами B и C₁ равно \(2\sqrt{34}\).

Ответ: \(2\sqrt{34}\)

Задача 3

Куб имеет ребро a = 4 см. Вычислите длину диагонали куба.

Длина диагонали куба может быть найдена по формуле:

\[d = a\sqrt{3}\]

где a - длина ребра куба.

В данном случае a = 4 см. Подставим значение в формулу:

\[d = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, длина диагонали куба равна \(4\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(4\sqrt{3}\) см

Задача 4

Диагональ куба равна \(6\sqrt{3}\) см. Найдите ребро куба.

Длина диагонали куба связана с длиной ребра следующим соотношением:

\[d = a\sqrt{3}\]

где a - длина ребра куба.

В данном случае \(d = 6\sqrt{3}\). Выразим a из формулы:

\[a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\]

Таким образом, длина ребра куба равна 6 см.

Ответ: 6 см

Задача 5

В прямоугольном параллелепипеде диагональ образует с основанием угол 30°. Высота параллелепипеда равна 5 см. Найдите длину диагонали.

Пусть d - длина диагонали, h - высота параллелепипеда, a угол между диагональю и основанием равен 30°. Тогда:

\[\sin(30^\circ) = \frac{h}{d}\]

\[d = \frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна 10 см.

Ответ: 10 см