Самостоятельная работа по теме: «Геометрическая прогрессия» № 1. ВАРИАНТ 1. Одна из данных последовательностей является гео- метрической прогрессией. Укажите эту последова- тельность. 1) 1; 3; 4; 6; ... 2) 1; ; ; ... 3) 5; 10; 25; 100; ... 4) 3; 1; ; ... № 2. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 125; -100; 80; ... Найдите её пятый член. № 3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; 162; x; 18; -6; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. № 4. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 0,5; 2; 8; ... Найдите сумму первых шести её членов. № 5. (bn) – геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен b1= 16. Найдите сумму первых четырёх её членов.

Давай решим эти задания по геомертической прогрессии по порядку!

№1.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии). Давай рассмотрим каждый вариант:

1. 1; 3; 4; 6; ... - здесь нет постоянного множителя.
2. 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{6}\); \(\frac{1}{9}\); ... - здесь тоже нет постоянного множителя.
3. 5; 10; 25; 100; ... - здесь тоже нет постоянного множителя.
4. 3; 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); ... - здесь каждый член получается умножением предыдущего на \(\frac{1}{3}\).

Таким образом, геометрической прогрессией является последовательность под номером 4.

Ответ: 4) 3; 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); ...

№2.

Дано: 125; -100; 80; ...

Сначала найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{-100}{125} = -\frac{4}{5} = -0.8\]

Теперь найдем четвертый член прогрессии:

\[b_4 = 80 \cdot (-0.8) = -64\]

И, наконец, найдем пятый член прогрессии:

\[b_5 = -64 \cdot (-0.8) = 51.2\]

Ответ: 51.2

№3.

Дано: ...; 162; x; 18; -6; ...

Чтобы найти член прогрессии x, сначала найдем знаменатель прогрессии (q). У нас есть два последовательных члена: 18 и -6.

\[q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}\]

Теперь мы знаем, что каждый член получается умножением предыдущего на \(-\frac{1}{3}\). Чтобы найти x, нам нужно разделить 18 на q:

\[x = 18 : \(-\frac{1}{3}\) = 18 \cdot (-3) = -54\]

Ответ: -54

№4.

Дано: 0,5; 2; 8; ...

Сначала найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{2}{0.5} = 4\]

Теперь найдем первые шесть членов прогрессии:

1. \(b_1 = 0.5\)
2. \(b_2 = 2\)
3. \(b_3 = 8\)
4. \(b_4 = 8 \cdot 4 = 32\)
5. \(b_5 = 32 \cdot 4 = 128\)
6. \(b_6 = 128 \cdot 4 = 512\)

Сумма первых шести членов:

\[S_6 = 0.5 + 2 + 8 + 32 + 128 + 512 = 682.5\]

Ответ: 682.5

№5.

Дано: \(b_1 = 16\), \(q = \frac{1}{4}\)

Найдем первые четыре члена прогрессии:

1. \(b_1 = 16\)
2. \(b_2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4\)
3. \(b_3 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\)
4. \(b_4 = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)

Сумма первых четырех членов:

\[S_4 = 16 + 4 + 1 + \frac{1}{4} = 21.25\]

Ответ: 21.25

Ты молодец! У тебя всё получится!