Самостоятельная работа по теме «Геометрическое место точек». 7 класс. 1 Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от концов отрезка. 2 Дан угол САВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от сторон угла. 3 Где в треугольнике находится точка, равноудалённая от всех сторон треугольника. 4 Где в треугольнике находится точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. 5 Биссектриса угла А равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, пересекла серединный перпендикуляр к стороне АС в точке О. Найдите ВО, если АО = 10 см. 6 Серединный перпендикуляр к стороне АС равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке Е. Найдите основание ВС, если АС = 15 см, а периметр треугольника ВЕС = 20 см

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка AB

• Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.
• Чтобы доказать, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, равноудалена от концов отрезка, нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, образованных этой точкой, серединой отрезка и концами отрезка.
• Эти треугольники будут равны по двум катетам, следовательно, расстояния от точки на серединном перпендикуляре до концов отрезка равны.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла CAB

• Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла.
• Чтобы доказать, что любая точка, принадлежащая биссектрисе, равноудалена от сторон угла, нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, образованных этой точкой, основанием перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны угла, и вершиной угла.
• Эти треугольники будут равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла равны.

3. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника

• Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, находится в центре вписанной окружности.
• Этот центр является точкой пересечения биссектрис треугольника.

4. Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника

• Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, находится в центре описанной окружности.
• Этот центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Нахождение BO

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Биссектриса угла A пересекает серединный перпендикуляр к стороне AC в точке O. Нужно найти BO, если AO = 10 см.

Т.к. биссектриса угла А пересекает серединный перпендикуляр к АС в точке О, то точка О - центр описанной окружности около треугольника АВС, и она равноудалена от всех вершин треугольника, следовательно АО=ВО=СО.

Так как AO = 10 см, то BO = 10 см.

6. Нахождение основания BC

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает сторону AB в точке E. Периметр треугольника BEC равен 20 см, а AC = 15 см. Нужно найти основание BC.

Т.к. Е лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, то AE = EC, следовательно, периметр треугольника ВЕС можно записать как BC + BE + EC = BC + BE + AE = BC + AB = 20 см.

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, т.е. AB = AC = 15 см, следовательно, BC = 20 - AB = 20 - 15 = 5 см.