Самостоятельная работа по теме «Испытания Бернулли. Случайная величина» 1. Выберите неверное(ые) утверждение(я): а) В серии испытаний Бернулли вероятность наступления удачи р такая, что р є [0; 1]. б) В серии испытаний Бернулли вероятность успеха не меняется на протяжении всего опыта. в) Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины Х - произведение суммы значений случайной величины Х на сумму соответствующих им вероятностей. 2. Дан ряд распределения случайной величины Х. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. X P 2 0.2 3 0.2 4 0.6 4. Проводят серию из 5-ти испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 0,3. Найдите вероятность того, что ровно 2 из них окажутся успешными. 4. Вероятность успеха в одном испытании Бернулли равна 0,4. Испытання проводят до тех пор, пока не наступит успех. Какова вероятность того, что первый успех произойдет на третьем испытании? 5. Дима выбирает из коробки, в которой лежат 3 белых и 2 черных шара один шар случайным образом и возвращает его обратно. Он повторяет этот опыт три раза. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа вынутых Димой белых шаров. Постройте полигон распределения случайной величины Х.

Ответ: 1в

Решение:

1. Задание 1:

   • Утверждение а) верно, так как вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.
   • Утверждение б) верно для схемы Бернулли, где вероятность успеха постоянна.
   • Утверждение в) неверно. Математическое ожидание - это сумма произведений каждого значения случайной величины на соответствующую вероятность, а не произведение суммы значений на сумму вероятностей.

2. Задание 2:

   • Математическое ожидание (M(X)) вычисляется как:

     \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

     В данном случае:

     \[ M(X) = 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.6 = 0.4 + 0.6 + 2.4 = 3.4 \]

   • Дисперсия (D(X)) вычисляется как:

     \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

     Сначала найдем M(X^2):

     \[ M(X^2) = 2^2 \cdot 0.2 + 3^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.6 = 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.2 + 16 \cdot 0.6 = 0.8 + 1.8 + 9.6 = 12.2 \]

     Теперь дисперсия:

     \[ D(X) = 12.2 - (3.4)^2 = 12.2 - 11.56 = 0.64 \]

3. Задание 3:

   Используем формулу Бернулли:

   \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

   Где:

   • n = 5 (количество испытаний)
   • k = 2 (количество успехов)
   • p = 0.3 (вероятность успеха)

   Тогда:

   \[ P(X = 2) = C_5^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3 \] \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(X = 2) = 10 \cdot (0.09) \cdot (0.343) = 10 \cdot 0.03087 = 0.3087 \]

4. Задание 4:

   Вероятность первого успеха на третьем испытании означает два провала и один успех. Т.к. испытания независимые:

   \[ P = (1-p) \cdot (1-p) \cdot p \]

   p = 0.4 (вероятность успеха)

   \[ P = (1-0.4) \cdot (1-0.4) \cdot 0.4 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.36 \cdot 0.4 = 0.144 \]

5. Задание 5:

   Вероятность вытащить белый шар: p = 3/5 = 0.6

   Вероятность вытащить черный шар: 1 - p = 2/5 = 0.4

   Составим закон распределения для X (число вынутых белых шаров):

   • X = 0 (все 3 шара черные): P(X=0) = (0.4)^3 = 0.064
   • X = 1 (1 белый, 2 черных): P(X=1) = C(3,1) * (0.6)^1 * (0.4)^2 = 3 * 0.6 * 0.16 = 0.288
   • X = 2 (2 белых, 1 черный): P(X=2) = C(3,2) * (0.6)^2 * (0.4)^1 = 3 * 0.36 * 0.4 = 0.432
   • X = 3 (все 3 шара белые): P(X=3) = (0.6)^3 = 0.216

   X	0	1	2	3
   P(X)	0.064	0.288	0.432	0.216

   Для построения полигона распределения необходимо отметить точки (x, P(x)) на графике и соединить их отрезками.

Ответ: 1в, M(X) = 3.4, D(X) = 0.64, P(X=2) = 0.3087, P = 0.144, закон распределения и полигон в решении