Самостоятельная работа по теме «Пирамида» Вариант І 1. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. 2. В правильной треугольной пирамиде РАВС Р- вершина, К середина ребра BC, AB= 6, а площадь боковой поверхности равна 63. Найдите длину отрезка РК. 3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. 4.В основании пирамиды РАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ=4, угол АСВ=150°. Боковые рёбра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды. 5. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Вариант ІІ 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. 2. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 20 и высота равна 24. 3. В правильной треугольной пирамиде РАВС Р- вершина, М середина ребра ВС, АВ= 6, а площадь боковой поверхности равна 126. Найдите длину отрезка РМ.. 4. В пирамиде РАВС боковое ребро РА перпендикулярно к основанию АВС, а грань РВС составляет с ним угол 60°, АВ=АС=5, ВС=8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды 5. Основанием пирамиды РАВС служит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС=5, Угол А=30°, боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: Вариант I

1. Площадь поверхности пирамиды: 1344

Решение:

1. Найдем площадь основания:

   \[S_{осн} = a^2 = 16^2 = 256\]

2. Найдем апофему боковой грани:

   \[l = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

3. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 16) \cdot 15 = 2 \cdot 16 \cdot 15 = 32 \cdot 15 = 480\]

4. Найдем площадь полной поверхности:

   \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 256 + 480 = 736\]

Ответ: 736

2. Длина отрезка РК: 9

Решение:

1. Найдем площадь одной боковой грани:

   \[S_{грани} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{63}{3} = 21\]

2. Найдем длину стороны основания:

   \[AB = 6\]

3. Найдем длину отрезка РК (высота боковой грани):

   \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PK\]

   \[21 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot PK\]

   \[PK = \frac{2 \cdot 21}{6} = \frac{42}{6} = 7\]

Ответ: 7

3. Площадь боковой поверхности пирамиды: 936

Решение:

1. Найдем апофему боковой грани:

   \[l = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

2. Найдем площадь одной боковой грани:

   \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60\]

3. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 60 = 360\]

Ответ: 360

4. Высота пирамиды: 1

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды:

   \[\frac{h}{\frac{AB}{2}} = tg(45^\circ)\]

   \[h = \frac{AB}{2} \cdot tg(45^\circ) = \frac{4}{2} \cdot 1 = 2\]

Ответ: 2

5. Площадь боковой поверхности пирамиды: 720

Решение:

1. Найдем площадь основания:

   \[AC = 21, AB = 29\]

   \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\]

   \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210\]

2. Найдем площадь боковых граней:

   \[S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 20 = 290\]

   \[S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210\]

   \[S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 = 200\]

3. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC} = 290 + 210 + 200 = 700\]

Ответ: 700

Вариант II

1. Площадь боковой поверхности этой пирамиды: 390

Решение:

1. Найдем апофему боковой грани:

   \[l = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

2. Найдем площадь одной боковой грани:

   \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60\]

3. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 60 = 360\]

Ответ: 360

2. Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды: 1600

Решение:

1. Найдем площадь основания:

   \[S_{осн} = a^2 = 20^2 = 400\]

2. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h) = 2 \cdot 20 \cdot 24 = 40 \cdot 24 = 960\]

3. Найдем площадь полной поверхности:

   \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 400 + 960 = 1360\]

Ответ: 1360

3. Длина отрезка РМ: 11.78

Решение:

1. Найдем сторону основания:

   \[AB = 6\]

2. Найдем площадь одной боковой грани:

   \[S_{грани} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{126}{3} = 42\]

3. Найдем РМ (высота боковой грани):

   \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PM\]

   \[42 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot PM\]

   \[PM = \frac{2 \cdot 42}{6} = \frac{84}{6} = 14\]

Ответ: 14

4. Площадь боковой поверхности пирамиды: 24

Решение:

1. Найдем площадь одной боковой грани:

   \[S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\]

   \[h = AB \cdot sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

   \[S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\]

2. Найдем площадь боковой поверхности:

   \[S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h\]

   \[PA = \sqrt{5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot cos(60^\circ)} = 5\sqrt{2 - 1} = 5 \cdot \sqrt{1} = 5\]

   \[h = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{25 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100 - 25}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

   \[S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\]

   \[S_{бок} = 10\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = 10\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{20\sqrt{3} + 25\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: \(\frac{45\sqrt{3}}{2}\)

5. Высота пирамиды: \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды:

   \[\frac{h}{BC} = tg(60^\circ)\]

   \[AC = BC \cdot tg(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

   \[h = AC \cdot tg(60^\circ) = \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{5 \cdot 3}{3} = 5\]

Ответ: 5