Самостоятельная работа по теме «Площади фигур» для обучающихся 8 класса Вариант №1 1. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 32 см и 44 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 22 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС. 2. Сторона ромба равна 12 см, а один из его углов 30°. Найдите площадь ромба. sLarb 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 30 см, а больший угол равен 135°. 4. В прямоугольнике ABCD найдите сторону AD, если диагональ АС равна 13 см, а сторона АВ равна 12 см. 5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание 30 см. Найдите высоту, проведенную к основанию, и площадь треугольника. 6. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 160 12, а одна сторона в 2,5 раза меньше другой. 1. Сколько понадобится кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими часть стены, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,4 м? Вариант №2 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 64 см². Найдите его катеты, если один в 2 раза больше другого. 2. Стороны параллелограмма равны 18 см и 30 см, а высота, "проведенная к большей стороне, равна 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне параллелограмма. 3. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки • 14 см и 34 см. Найдите площадь трапеции. 4. В квадрате диагональ равна 12 см. Найдите его сторону. 5. В треугольнике стороны равны 10 см, 10 см и 12 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне, и площадь треугольника. 6. Площадь прямоугольника 40 см², а его периметр 26 см. Найдите его стороны. 7. Пол комнаты имеет квадратную форму со сторонами 4 м. Сколько «надо дощечек прямоугольной формы со сторонами 5 см и 20 см, чтобы покрыть его паркетом?

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задачи. Давай разберем их по порядку.

Вариант №1

1. Треугольник ABC

Для начала, запишем формулу площади треугольника, используя разные основания и высоты:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 22 = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot h_{BC} \]

Решим уравнение относительно h_BC:

\[ 32 \cdot 22 = 44 \cdot h_{BC} \] \[ h_{BC} = \frac{32 \cdot 22}{44} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} \]

Ответ: 16 см

2. Ромб

Площадь ромба можно найти по формуле:

\[ S = a^2 \cdot \sin(\alpha) \]

где a — сторона ромба, а α — один из его углов.

Подставим известные значения:

\[ S = 12^2 \cdot \sin(30^\circ) \] \[ S = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72 \text{ см}^2 \]

Ответ: 72 см²

3. Прямоугольная трапеция

Обозначим меньшие стороны трапеции как a и b , где a = b = 30 см. Больший угол равен 135°. Это означает, что меньший угол равен 180° - 135° = 45°.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник с углом 45°. Поскольку угол равен 45°, этот треугольник равнобедренный, и высота равна разности оснований.

Пусть h — высота трапеции. Тогда h = 30 см. Разность оснований равна h , так как треугольник равнобедренный.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

где a и b — основания трапеции, а h — высота.

Так как b = a + h = 30 + 30 = 60 см, то:

\[ S = \frac{30 + 60}{2} \cdot 30 \] \[ S = \frac{90}{2} \cdot 30 = 45 \cdot 30 = 1350 \text{ см}^2 \]

Ответ: 1350 см²

4. Прямоугольник ABCD

В прямоугольнике ABCD дана диагональ AC = 13 см и сторона AB = 12 см. Нужно найти сторону AD .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Так как BC = AD , то:

\[ 13^2 = 12^2 + AD^2 \] \[ 169 = 144 + AD^2 \] \[ AD^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ AD = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

Ответ: 5 см

5. Равнобедренный треугольник

Боковая сторона равна 17 см, основание равно 30 см. Найдем высоту, проведенную к основанию.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой. Поэтому она делит основание пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и половиной основания. По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (\frac{30}{2})^2 = 17^2 \] \[ h^2 + 15^2 = 289 \] \[ h^2 + 225 = 289 \] \[ h^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ h = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \text{ см}^2 \]

Ответ: Высота равна 8 см, площадь равна 120 см²

6. Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна 160 см². Одна сторона в 2,5 раза меньше другой. Пусть меньшая сторона равна x , тогда большая сторона равна 2.5x .

Площадь прямоугольника:

\[ S = a \cdot b \] \[ 160 = x \cdot 2.5x \] \[ 160 = 2.5x^2 \] \[ x^2 = \frac{160}{2.5} = \frac{1600}{25} = 64 \] \[ x = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Тогда большая сторона равна:

\[ 2.5 \cdot 8 = 20 \text{ см} \]

Ответ: Стороны прямоугольника равны 8 см и 20 см.

7. Кафельные плитки

Размеры стены: 3 м и 2,4 м. Размеры плитки: 20 см. Сначала переведем все размеры в сантиметры:

Размеры стены: 300 см и 240 см.

Площадь стены:

\[ S_{стены} = 300 \cdot 240 = 72000 \text{ см}^2 \]

Площадь плитки:

\[ S_{плитки} = 20 \cdot 20 = 400 \text{ см}^2 \]

Количество плиток:

\[ N = \frac{S_{стены}}{S_{плитки}} = \frac{72000}{400} = 180 \text{ штук} \]

Ответ: 180 плиток

Вариант №2

1. Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника равна 64 см². Один катет в 2 раза больше другого. Пусть меньший катет равен x , тогда больший катет равен 2x .

Площадь прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] \[ 64 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x \] \[ 64 = x^2 \] \[ x = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Тогда больший катет равен:

\[ 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \]

Ответ: Катеты равны 8 см и 16 см.

2. Параллелограмм

Стороны параллелограмма равны 18 см и 30 см, а высота, проведенная к большей стороне, равна 6 см. Найдем высоту, проведенную к меньшей стороне параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами:

\[ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \]

где a и b — стороны параллелограмма, h_a и h_b — высоты, проведенные к этим сторонам.

\[ 30 \cdot 6 = 18 \cdot h \] \[ 180 = 18 \cdot h \] \[ h = \frac{180}{18} = 10 \text{ см} \]

Ответ: Высота, проведенная к меньшей стороне, равна 10 см.

3. Равнобедренная трапеция

Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки 14 см и 34 см. Найдем площадь трапеции.

Высота, проведенная из вершины тупого угла, образует прямоугольный треугольник с углом 45°. Это означает, что высота равна разности между большим и меньшим основаниями.

Пусть h — высота трапеции. Тогда h = 34 - 14 = 20 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Меньшее основание равно 14 + 14 = 28 см. Большее основание равно 28 + 20 = 48 см.

\[ S = \frac{28 + 48}{2} \cdot 20 \] \[ S = \frac{76}{2} \cdot 20 = 38 \cdot 20 = 760 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь трапеции равна 760 см².

4. Квадрат

Диагональ квадрата равна 12 см. Найдем его сторону.

Сторона квадрата связана с диагональю соотношением:

\[ d = a \sqrt{2} \]

где d — диагональ, a — сторона квадрата.

\[ 12 = a \sqrt{2} \] \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: Сторона квадрата равна 6\sqrt{2} см.

5. Треугольник

Стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 12 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне, и площадь треугольника.

Треугольник равнобедренный. Высота, проведенная к основанию (большей стороне), является также медианой. Поэтому она делит основание пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и половиной основания. По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (\frac{12}{2})^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 6^2 = 100 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ h = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2 \]

Ответ: Высота равна 8 см, площадь равна 48 см²

6. Прямоугольник

Площадь прямоугольника 40 см², а его периметр 26 см. Найдите его стороны.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b . Тогда:

\[ S = a \cdot b = 40 \] \[ P = 2(a + b) = 26 \]

Из второго уравнения:

\[ a + b = 13 \] \[ b = 13 - a \]

Подставим в первое уравнение:

\[ a(13 - a) = 40 \] \[ 13a - a^2 = 40 \] \[ a^2 - 13a + 40 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \] \[ a_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \] \[ a_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

Тогда:

Если a = 8 , то b = 13 - 8 = 5 см.

Если a = 5 , то b = 13 - 5 = 8 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 8 см.

7. Паркет

Пол комнаты имеет квадратную форму со сторонами 4 м. Дощечки прямоугольной формы со сторонами 5 см и 20 см.

Сначала переведем все размеры в сантиметры:

Размеры комнаты: 400 см x 400 см.

Площадь комнаты:

\[ S_{комнаты} = 400 \cdot 400 = 160000 \text{ см}^2 \]

Площадь дощечки:

\[ S_{дощечки} = 5 \cdot 20 = 100 \text{ см}^2 \]

Количество дощечек:

\[ N = \frac{S_{комнаты}}{S_{дощечки}} = \frac{160000}{100} = 1600 \text{ штук} \]

Ответ: 1600 дощечек

Ответ: Смотри решения выше

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!