Самостоятельная работа по теме: «Правильные многоугольники». Вариант 2. 1. Найти сторону правильного шестиугольника, если радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен 4 см. 2. Найти радиус окружности, описанной около правильного треугольника, если его сторона равна 6 м. 3. Найти площадь правильного четырехугольника, если радиус описанной окружности около него равен 12 дм. 4. Найти площадь правильного семиугольника, если его сторона равна 5 см, а радиус вписанной в него окружности равен 0,5 см. 5. Найти радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

Решение:

1. 1) Найти сторону правильного шестиугольника, если радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен 4 см.

   Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной a формулой:

   $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

   где r - радиус вписанной окружности, a - сторона шестиугольника.

   Выразим сторону a через радиус r:

   $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$

   Подставим значение радиуса r = 4 см:

   $$a = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см}$$

   Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см}$$

2. 2) Найти радиус окружности, описанной около правильного треугольника, если его сторона равна 6 м.

   Радиус описанной окружности около правильного треугольника связан со стороной a формулой:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

   где R - радиус описанной окружности, a - сторона треугольника.

   Подставим значение стороны a = 6 м:

   $$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ м}$$

   Ответ: $$2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ м}$$

3. 3) Найти площадь правильного четырехугольника, если радиус описанной окружности около него равен \( \sqrt{2} \) дм.

   Правильный четырехугольник - это квадрат. Сторона квадрата связана с радиусом описанной окружности R формулой:

   $$a = R\sqrt{2}$$

   где a - сторона квадрата, R - радиус описанной окружности.

   Подставим значение радиуса R = \( \sqrt{2} \) дм:

   $$a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \text{ дм}$$

   Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

   $$S = a^2 = 2^2 = 4 \text{ дм}^2$$

   Ответ: 4 дм^2

4. 4) Найти площадь правильного семиугольника, если его сторона равна 5 см, а радиус вписанной в него окружности равен 0,5 см.

   Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} n a r$$

   где n - количество сторон, a - длина стороны, r - радиус вписанной окружности.

   В данном случае n = 7, a = 5 см, r = 0,5 см.

   Подставим значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot 0.5 = \frac{35}{4} = 8.75 \text{ см}^2$$

   Ответ: 8.75 см^2

5. 5) Найти радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

   В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника:

   $$R = a$$

   где R - радиус описанной окружности, a - сторона шестиугольника.

   Следовательно, сторона шестиугольника равна 10 см.

   Радиус вписанной окружности связан со стороной a формулой:

   $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

   где r - радиус вписанной окружности.

   Подставим значение a = 10 см:

   $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}$$

   Ответ: $$5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}$$