Самостоятельная работа по теме «Приз 1 вариант. 1. Даны два прямоугольных треугольника АBC, ABD (рис 1). Доказать: ДАВС = ∆ADC. Найти ∠BAD, если BC = CD, ∠ACB = 55°. Рис 1. 2. Дан ДАВС, ВО – высота (рис 2). Доказать: Д ΑΒΟ = ΔΟΒΟ Найдите АВ, если ∠A=30°, ВО = 6 см. Рис 2. 3. Дано ДАВС – равнобедренный, ВО – биссектриса (рис 3). Доказать: Д ΑΒΟ= Δ ΟBC Найдите ВО, если ∠B = 60°, АВ =26 см. Рис 3. 4. Дан треугольник АВС, где угол В = 90°. Внешний угол при вершине А равен 120°, сторона АВ равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы? 5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

1. Даны два прямоугольных треугольника АВС, ABD (рис 1). Доказать: ∆ABC = ∆ADC. Найти ∠BAD, если BC = CD, ∠ACB = 55°.

Доказательство:

• В прямоугольных треугольниках ABC и ADC: BC = CD (дано), AC – общая сторона.
• Поскольку катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны (по гипотенузе и катету).
• Следовательно, ∆ABC = ∆ADC.

Находим ∠BAD:

• Так как ∆ABC = ∆ADC, то ∠BAC = ∠DAC = ∠ACB = 55°.
• ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 55° + 55° = 110°.

Ответ: ∠BAD = 110°

2. Дан ∆ABC, BO – высота (рис 2). Доказать: ∆ABO = ∆OBC. Найдите AB, если ∠A = 30°, BO = 6 см.

Доказательство:

• В треугольниках ABO и CBO: BO – общая сторона, углы ∠AOB и ∠COB прямые (так как BO – высота), AO = OC (дано на рисунке).
• Таким образом, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Следовательно, ∆ABO = ∆OBC.

Находим AB:

• В прямоугольном треугольнике ABO: ∠A = 30°, BO = 6 см.
• Используем тригонометрическое соотношение: sin(∠A) = BO / AB.
• AB = BO / sin(∠A) = 6 / sin(30°) = 6 / 0.5 = 12 см.

Ответ: AB = 12 см

3. Дано ∆ABC – равнобедренный, BO – биссектриса (рис 3). Доказать: ∆ABO = ∆OBC. Найдите BO, если ∠B = 60°, AB = 26 см.

Доказательство:

• В треугольниках ABO и CBO: AB = BC (так как ∆ABC равнобедренный), ∠ABO = ∠CBO (так как BO – биссектриса), BO – общая сторона.
• Таким образом, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Следовательно, ∆ABO = ∆OBC.

Находим BO:

• Так как ∆ABC равнобедренный и ∠B = 60°, то ∆ABC – равносторонний (все углы равны 60°).
• BO является биссектрисой, а значит, и медианой, и высотой.
• BO = AB ⋅ sin(60°) = 26 ⋅ √3 / 2 = 13√3 см.

Ответ: BO = 13√3 см

4. Дан треугольник ABC, где угол B = 90°. Внешний угол при вершине A равен 120°, сторона AB равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы?

Находим углы треугольника:

• Внешний угол при вершине A равен 120°, значит, ∠BAC = 180° - 120° = 60°.
• Так как ∠B = 90°, то ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°.

Находим гипотенузу AC:

• В прямоугольном треугольнике ABC: AB = 7 см, ∠C = 30°.
• Используем тригонометрическое соотношение: cos(∠C) = BC / AC.
• AB / AC = cos(60°) = 1/2.
• AC = 2 ⋅ AB = 2 ⋅ 7 = 14 см.

Ответ: AC = 14 см

5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Пусть гипотенуза равна c, меньший катет равен a.

Дано: c + a = 42.

В прямоугольном треугольнике с углом 60° меньший катет лежит напротив угла 30°.

Следовательно, a = c/2.

Подставляем в уравнение:

c + c/2 = 42

(3/2)c = 42

c = (2/3) ⋅ 42 = 28 см.

Ответ: Гипотенуза равна 28 см