Самостоятельная работа по теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Вариант 1. 1. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. Гипотенуза треугольника делится этой высотой на отрезки длиной 16 и 25. Найдите эту высоту и катеты треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике катет равен 4, а проекция этого катета на гипотенузу равна 2. Найдите гипотенузу, второй катет и его проекцию на гипотенузу. 3. Ми К соответственно середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите МК, если АС = 7см.

Решение задачи №1:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, CH - высота, проведенная к гипотенузе AB. AH = 16, HB = 25. Нужно найти CH, AC и BC.

1. Найдем высоту CH. Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: \[CH = \sqrt{AH \cdot HB} = \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20\]
2. Найдем катет AC. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: \[AC = \sqrt{AB \cdot AH}\]

   AB = AH + HB = 16 + 25 = 41

   \[AC = \sqrt{41 \cdot 16} = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}\]
3. Найдем катет BC: \[BC = \sqrt{AB \cdot HB} = \sqrt{41 \cdot 25} = 5\sqrt{41}\]

Решение задачи №2:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 4, проекция этого катета на гипотенузу AH = 2. Нужно найти гипотенузу AB, катет BC и проекцию катета BC на гипотенузу - HB.

1. Найдем гипотенузу AB. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: \[AC = \sqrt{AB \cdot AH}\]

   Возведем обе части в квадрат:

   \[AC^2 = AB \cdot AH\] \[AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\]
2. Найдем катет BC по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]
3. Найдем проекцию HB катета BC на гипотенузу: \[HB = AB - AH = 8 - 2 = 6\]

Решение задачи №3:

Дано: M и K - середины сторон AB и BC треугольника ABC, AC = 7 см. Найти MK.

MK - средняя линия треугольника ABC, следовательно, она равна половине стороны AC: