Самостоятельная работа по теме: «Решение неравенств методом интервалов». 2 вариант Решите неравенство: a) (x-5)(x+6)<0; б) х²-3x-4≤0; в) х(х+8)(x-10)≥0; г) x+8/x-6≥0; д) 3x²+12x/x²+10x+25 ≥ 0.

Решим данные неравенства методом интервалов.

1. а) $$(x-5)(x+6)<0$$
   Нули функции: $$x = 5, x = -6$$.
   Интервалы: $$(-\infty; -6), (-6; 5), (5; +\infty)$$.
   Определим знаки на каждом интервале:
   $$(-\infty; -6)$$: $$(-)(-)>0$$
   $$(-6; 5)$$: $$(-)(+)<0$$
   $$(5; +\infty)$$: $$(+)(+)>0$$
   Решением является интервал, где функция меньше нуля.
   Ответ: $$x \in (-6; 5)$$
2. б) $$x^2 - 3x - 4 \le 0$$
   Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни уравнения $$x^2 - 3x - 4 = 0$$
   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 3, x_1 \cdot x_2 = -4$$.
   $$x_1 = -1, x_2 = 4$$.
   $$x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$$.
   $$(x + 1)(x - 4) \le 0$$
   Нули функции: $$x = -1, x = 4$$.
   Интервалы: $$(-\infty; -1], [-1; 4], [4; +\infty)$$.
   Определим знаки на каждом интервале:
   $$(-\infty; -1]$$: $$(-)(-) > 0$$
   $$[-1; 4]$$: $$(+)(-) < 0$$
   $$[4; +\infty)$$: $$(+)(+) > 0$$
   Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю.
   Ответ: $$x \in [-1; 4]$$
3. в) $$x(x+8)(x-10) \ge 0$$
   Нули функции: $$x = 0, x = -8, x = 10$$.
   Интервалы: $$(-\infty; -8], [-8; 0], [0; 10], [10; +\infty)$$.
   Определим знаки на каждом интервале:
   $$(-\infty; -8]$$: $$(-)(-)(-) < 0$$
   $$[-8; 0]$$: $$(-)(+)(-) > 0$$
   $$[0; 10]$$: $$(+)(+)(-) < 0$$
   $$[10; +\infty)$$: $$(+)(+)(+) > 0$$
   Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю.
   Ответ: $$x \in [-8; 0] \cup [10; +\infty)$$
4. г) $$\frac{x+8}{x-6} \ge 0$$
   Нули числителя: $$x = -8$$.
   Нули знаменателя: $$x = 6$$.
   Интервалы: $$(-\infty; -8], [-8; 6), (6; +\infty)$$.
   Определим знаки на каждом интервале:
   $$(-\infty; -8]$$: $$\frac{(-)}{(-)} > 0$$
   $$[-8; 6)$$: $$\frac{(+)}{(-)} < 0$$
   $$(6; +\infty)$$: $$\frac{(+)}{(+)} > 0$$
   Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю.
   Ответ: $$x \in (-\infty; -8] \cup (6; +\infty)$$
5. д) $$\frac{3x^2 + 12x}{x^2 + 10x + 25} \ge 0$$
   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   $$\frac{3x(x + 4)}{(x + 5)^2} \ge 0$$
   Нули числителя: $$x = 0, x = -4$$.
   Нули знаменателя: $$x = -5$$.
   Интервалы: $$(-\infty; -5), (-5; -4], [-4; 0], [0; +\infty)$$.
   Определим знаки на каждом интервале:
   $$(-\infty; -5)$$: $$\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$$
   $$(-5; -4]$$: $$\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$$
   $$[-4; 0]$$: $$\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$$
   $$[0; +\infty)$$: $$\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$$
   Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю.
   Учитываем, что знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$x
   e -5$$.
   Ответ: $$x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -4] \cup [0; +\infty)$$