Самостоятельная работа по теме: «Решение текстовых задач при помощи квадратных уравнений» Вариант №2. 1.Ширина прямоугольника на 6 см меньше длины, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов больше другого на 7 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника. 3. Одна сторона прямоугольника меньше другой на 3 м. Найдите наименьшую сторону, если площадь равна 180 м². 4. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 51 см², а периметр равен 40см. 5. Решите квадратное уравнение: 3) 2x² - 3x = 0; 1) 3x² + 13x-10 = 0; 2) 16x² = 49; 4) x²-2x-35 = 0.

Решение задач:

1. Задача про прямоугольник

Пусть длина прямоугольника равна \(x\) см, тогда ширина равна \(x - 6\) см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины и ширины, поэтому составим уравнение:

\[x(x - 6) = 40\] \[x^2 - 6x - 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4(1)(-40) = 36 + 160 = 196\)

Корни: \(x_1 = \frac{6 + \sqrt{196}}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10\), \(x_2 = \frac{6 - \sqrt{196}}{2} = \frac{6 - 14}{2} = -4\)

Так как длина не может быть отрицательной, выбираем \(x = 10\). Тогда ширина равна \(10 - 6 = 4\) см.

Ответ: Длина 10 см, ширина 4 см.

---

2. Задача про прямоугольный треугольник

Пусть один катет равен \(x\) см, тогда другой катет равен \(x + 7\) см. Гипотенуза равна 13 см. По теореме Пифагора:

\[x^2 + (x + 7)^2 = 13^2\] \[x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169\] \[2x^2 + 14x - 120 = 0\] \[x^2 + 7x - 60 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289\)

Корни: \(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 + 17}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 - 17}{2} = -12\)

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем \(x = 5\). Тогда другой катет равен \(5 + 7 = 12\) см.

Ответ: Катеты 5 см и 12 см.

---

3. Задача про прямоугольник

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) м, тогда другая сторона равна \(x + 3\) м. Площадь равна 180 м².

\[x(x + 3) = 180\] \[x^2 + 3x - 180 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 3^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729\)

Корни: \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 + 27}{2} = 12\), \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 - 27}{2} = -15\)

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем \(x = 12\). Тогда другая сторона равна \(12 + 3 = 15\) м.

Ответ: Наименьшая сторона 12 м.

---

4. Задача про прямоугольник

Пусть длина прямоугольника равна \(a\) см, а ширина \(b\) см. Площадь равна 51 см², а периметр равен 40 см.

\[\begin{cases} ab = 51 \\ 2(a + b) = 40 \end{cases}\] \[\begin{cases} ab = 51 \\ a + b = 20 \end{cases}\]

Выразим \(b\) из второго уравнения: \(b = 20 - a\). Подставим в первое уравнение:

\[a(20 - a) = 51\] \[20a - a^2 = 51\] \[a^2 - 20a + 51 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-20)^2 - 4(1)(51) = 400 - 204 = 196\)

Корни: \(a_1 = \frac{20 + \sqrt{196}}{2} = \frac{20 + 14}{2} = 17\), \(a_2 = \frac{20 - \sqrt{196}}{2} = \frac{20 - 14}{2} = 3\)

Если \(a = 17\), то \(b = 20 - 17 = 3\). Если \(a = 3\), то \(b = 20 - 3 = 17\).

Ответ: Стороны 17 см и 3 см.

---

5. Решение квадратных уравнений:

1) \(3x^2 + 13x - 10 = 0\)

Дискриминант: \(D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\)

Корни: \(x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\)

Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = -5\)

2) \(16x^2 = 49\)

\[16x^2 - 49 = 0\] \[(4x - 7)(4x + 7) = 0\]

Корни: \(x_1 = \frac{7}{4}\), \(x_2 = -\frac{7}{4}\)

Ответ: \(x_1 = \frac{7}{4}\), \(x_2 = -\frac{7}{4}\)

3) \(2x^2 - 3x = 0\)

\[x(2x - 3) = 0\]

Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3}{2}\)

4) \(x^2 - 2x - 35 = 0\)

Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\)

Корни: \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\), \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Ответ: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -5\)

Ответ:

Ты отлично справился с заданиями! Не останавливайся на достигнутом и продолжай изучать математику.