Самостоятельная работа по теме: «Системы линейных уравнений с двумя переменными» Вариант № 1 № 1. Решите системы уравнений методом подстановки: 1) {y = 2x + 5; 2x + 3y = 31} 2) {5x - 7y = -24; x = -3y + 4} № 2. Решите системы уравнений методом алгебраического сложения: 1) {2x + 5y = -8; 2x + 3y = -4} 2) {-3x + 7y = 29; 6x + 5y = 13} 3) {3x + 7y = -5; 5x + 4y = 7}

Решение:

№ 1. Метод подстановки

• Система 1:
  • Подставим первое уравнение во второе:
  • $$2x + 3(2x + 5) = 31$$
  • $$2x + 6x + 15 = 31$$
  • $$8x = 16$$
  • $$x = 2$$
  • Найдем y:
  • $$y = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$$
  • Ответ: (2; 9)
• Система 2:
  • Подставим второе уравнение в первое:
  • $$5(-3y + 4) - 7y = -24$$
  • $$-15y + 20 - 7y = -24$$
  • $$-22y = -44$$
  • $$y = 2$$
  • Найдем x:
  • $$x = -3(2) + 4 = -6 + 4 = -2$$
  • Ответ: (-2; 2)

№ 2. Метод алгебраического сложения

• Система 1:
  • Вычтем второе уравнение из первого:
  • $$(2x + 5y) - (2x + 3y) = -8 - (-4)$$
  • $$2y = -4$$
  • $$y = -2$$
  • Подставим y в первое уравнение:
  • $$2x + 5(-2) = -8$$
  • $$2x - 10 = -8$$
  • $$2x = 2$$
  • $$x = 1$$
  • Ответ: (1; -2)
• Система 2:
  • Умножим первое уравнение на 2:
  • $$-6x + 14y = 58$$
  • Сложим с вторым уравнением:
  • $$(-6x + 14y) + (6x + 5y) = 58 + 13$$
  • $$19y = 71$$
  • $$y = \frac{71}{19}$$
  • Подставим y во второе уравнение:
  • $$6x + 5(\frac{71}{19}) = 13$$
  • $$6x + \frac{355}{19} = 13$$
  • $$6x = 13 - \frac{355}{19} = \frac{247 - 355}{19} = \frac{-108}{19}$$
  • $$x = \frac{-108}{19 \cdot 6} = \frac{-18}{19}$$
  • Ответ: (-18/19; 71/19)
• Система 3:
  • Умножим первое уравнение на 5, второе на -3:
  • $$15x + 35y = -25$$
  • $$-15x - 12y = -21$$
  • Сложим уравнения:
  • $$(15x + 35y) + (-15x - 12y) = -25 + (-21)$$
  • $$23y = -46$$
  • $$y = -2$$
  • Подставим y в первое уравнение:
  • $$3x + 7(-2) = -5$$
  • $$3x - 14 = -5$$
  • $$3x = 9$$
  • $$x = 3$$
  • Ответ: (3; -2)